보드 선도: 주파수에 따라 달라지는 크기와 위상을 읽는 법
같은 진폭의 신호를 증폭기에 넣어도 천천히 변하는 신호와 빠르게 변하는 신호의 출력은 다를 수 있다. 주파수 응답은 주파수에 따른 전달 특성의 변화다. 선형 시불변 시스템의 정상 상태에서는 정현파 입력에 같은 주파수의 출력이 생기지만 진폭과 위상이 달라진다. 시작 순간의 과도 응답이나 비선형 회로에서 생기는 고조파는 이 가정과 구분해야 한다.
크기와 위상을 한 쌍으로 표현한다
전달 함수의 주파수 응답을 H(jω)라고 쓰면 크기 |H|는 출력과 입력 진폭의 비이고 arg H는 위상 차이다. 각주파수 ω = 2πf의 단위는 rad/s, 주파수 f의 단위는 Hz다. 두 숫자를 같은 주파수 값으로 섞으면 차단 주파수 계산에 2π 오차가 생긴다. 위상은 라디안이나 도 단위를 쓰되 표시 방식을 명확히 해야 한다.
보드 선도는 가로축에 로그 주파수, 세로축에 크기의 dB 값과 위상을 각각 그린다. 전압 전달비의 크기는 20 log10|H|로 표시한다. 이득 10은 20 dB, 1은 0 dB, 0.1은 -20 dB다. 전력비는 10 log10을 쓰며, 전압비를 전력비로 바꾸려면 임피던스 조건까지 고려해야 한다. dB 숫자가 같다는 이유만으로 전압과 전력을 혼동해서는 안 된다.
한 개의 극점으로 직접 계산한다
H(jω) = 10/(1 + jω/ω_p)라는 1차 저역통과 특성을 생각해 보자. f_p = ω_p/(2π) = 1 kHz라면 저주파 이득은 10, 즉 20 dB다. 1 kHz에서 크기는 10/√2 ≈ 7.07, 약 16.99 dB이고 위상은 -45°다. 흔히 말하는 -3 dB 지점은 저주파 이득보다 약 3 dB 낮다는 뜻이며 그래프의 절대 높이가 언제나 -3 dB라는 뜻은 아니다.
10 kHz에서는 크기가 10/√101 ≈ 0.995로 약 -0.043 dB가 되고 위상은 약 -84.3°다. 충분히 높은 주파수에서는 크기 기울기가 -20 dB/decade에 가까워진다. decade는 주파수 열 배의 간격이고 octave는 두 배의 간격이다. MIT의 주파수 해석 자료는 복소수 전달 관계와 증폭기의 주파수 응답을 연결한다.
직선 근사는 모서리에서 정확하지 않다
단순한 좌반평면의 1차 극점은 고주파에서 -20 dB/decade의 기울기와 -90°에 가까운 위상을 더한다. 같은 조건의 1차 영점은 반대 효과를 만든다. 여러 인자가 곱해지면 dB 크기와 위상은 더할 수 있어 로그 축이 편리하다. 다만 복소 극점의 공진, 우반평면 영점, 순수 시간 지연은 단순한 크기 기울기만으로 설명할 수 없다.
직선으로 그린 점근선은 빠른 판단에 유용하지만 극점 근처에서 실제 곡선과 차이가 난다. 예를 들어 앞의 1차 모델에서 꺾이는 지점을 20 dB로 그리면 실제 16.99 dB와 약 3 dB 차이다. Analog Devices의 이득·대역폭 자료는 실제 연산증폭기의 여러 극점과 서로 다른 이득 정의를 구분한다. 모델의 정확도와 적용 범위를 함께 읽어야 한다.
피드백 회로에서는 신호 전달 함수와 루프 이득의 보드 선도가 다른 역할을 한다. 안정성을 판단할 때는 루프 이득이 0 dB를 지나는 주파수의 위상과 여유를 살핀다. 신호 이득 그래프가 평평하다고 발진 가능성까지 배제할 수는 없다. 또한 위상 표시가 ±180°에서 접히는지 연속적으로 펼쳐졌는지도 확인해야 갑작스러운 점프를 실제 물리 현상으로 오해하지 않는다.
측정한 주파수 응답에는 신호원과 부하, 계측기의 대역폭도 포함될 수 있다. 입력이 너무 크면 증폭기의 클리핑과 슬루율 제한이 소신호 모델을 깨뜨린다. 보드 선도는 주파수별 증폭과 지연을 압축해서 보여 주는 도구이며, 축·기준 이득·동작점·측정 조건을 함께 확인할 때 회로의 시간 응답과 안정성까지 연결해 이해할 수 있다.