임피던스는 교류의 크기와 위상 관계를 한꺼번에 표현한다
교류 회로에서는 전압이 커지는 순간과 전류가 커지는 순간이 일치하지 않을 수 있다. 저항값 하나만으로 전류의 크기와 시간 관계를 모두 표현하기 어려운 이유다. 임피던스는 특정 주파수의 정현파 정상 상태에서 전압 페이저와 전류 페이저의 비율 Z = Ṽ/Ĩ로 정의한다. 크기는 전류가 얼마나 흐르는지, 위상은 전압과 전류가 얼마나 어긋나는지를 나타낸다. 단위는 저항과 같은 옴 Ω이다.
복소수가 필요한 이유
Z = R + jX에서 j는 j² = −1인 허수 단위다. R은 실수부인 저항 성분, X는 허수부의 계수인 리액턴스다. 두 성분 모두 Ω 단위이며, 허수부라고 물리적 의미가 없는 것은 아니다. e^(jωt)를 사용하는 관례에서 X가 양수인 유도성 임피던스는 전압이 전류보다 앞서고, X가 음수인 용량성 임피던스는 전류가 전압보다 앞선다. 위상 각도는 각 성분의 부호를 고려해 계산해야 한다.
MIT의 임피던스 모델 강의는 시간에 대한 미분 관계를 복소수 관계로 바꾸어 회로를 푸는 방법을 다룬다. 정현파를 미분하면 각주파수 ω를 곱하고 위상이 90° 바뀌는 효과가 있다. 그래서 이상적인 저항은 Z_R = R, 인덕터는 Z_L = jωL, 커패시터는 Z_C = 1/(jωC) = −j/(ωC)가 된다. ω는 2πf이고 단위는 rad/s, f는 Hz다.
하나의 주파수에서 수치로 계산해 보자
100 Ω 저항과 10 mH 인덕터를 직렬로 연결해 1 kHz의 정현파를 가한다고 하자. ω는 약 6283 rad/s이고 인덕터의 리액턴스는 약 62.83 Ω이다. 전체 임피던스는 Z = 100 + j62.83 Ω이며 크기는 √(100² + 62.83²) ≈ 118.1 Ω이다. 위상은 약 +32.1°다. 실효값 10 V를 가하면 전류 실효값은 약 84.7 mA이고 전류는 전압보다 32.1° 늦는다.
이때 100과 62.83을 단순히 더해 162.83 Ω로 계산하면 틀린다. 서로 같은 방향의 실수가 아니라 복소평면에서 서로 직교하는 성분이기 때문이다. 임피던스 크기와 저항 성분도 같지 않다. 위 예의 평균 유효 전력은 I_rms²R로 약 0.717 W다. 이상적인 인덕터는 에너지를 저장했다가 돌려주므로 한 주기 평균 소모 전력이 0이며, 전체 임피던스 크기를 발열 저항처럼 대입해서는 안 된다.
직렬과 병렬의 계산 규칙
직렬에서는 같은 전류가 흐르므로 복소 임피던스를 더한다. 병렬에서는 같은 전압이 걸리므로 어드미턴스 Y = 1/Z를 더하는 편이 편리하다. Y의 단위는 지멘스 S다. 이 규칙은 저항 회로와 형태가 같지만 크기만 더하는 것이 아니라 복소수 전체를 연산해야 한다. Analog Devices의 임피던스 실습 자료는 주파수에 따라 저항·커패시터·인덕터와 결합 회로의 크기 및 위상을 함께 측정한다.
10 mH 인덕터는 1 kHz에서 약 62.83 Ω의 리액턴스를 갖지만 100 Hz에서는 약 6.283 Ω이다. 반면 같은 커패시터는 주파수가 낮아지면 임피던스 크기가 커진다. 따라서 부품의 임피던스를 말할 때에는 주파수를 생략하지 않는 것이 좋다. 전원 필터나 센서 입력의 동작이 주파수에 따라 달라지는 원리를 이 관계로 설명할 수 있다.
적용 범위 밖에서는 시간 응답을 따로 다룬다
이 단순한 임피던스 해석은 선형 시불변 회로에서 한 주파수의 정현파 정상 상태를 다룬다. 초기 충전이나 스위치를 막 켠 순간의 과도 응답은 초기 조건을 포함한 시간 영역 해석이 필요하다. 서로 다른 주파수 성분은 선형 회로에서 따로 계산한 뒤 합칠 수 있지만 하나의 페이저로 섞을 수 없다. 비선형 소자는 동작점 근처의 작은 신호에서만 임피던스를 근사할 수 있으며, 실제 소자의 손실과 기생 성분도 주파수 의존성에 포함된다. 임피던스는 교류 회로의 조건을 압축해서 표현하는 도구이므로 크기, 위상, 주파수와 모델의 범위를 함께 읽어야 한다.