회로의 한 접점에서 전류의 합이 0이 되는 이유
여러 도선이 만나는 접점으로 전류가 들어오면 그 전류는 어떻게 나뉠까? 키르히호프 전류 법칙, KCL은 집중 소자 회로의 한 노드에서 전류의 대수적 합이 0이라고 말한다. 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합이 같다는 표현도 동일하다. 이는 특정 저항의 성질을 설명하는 식이 아니라 회로의 연결 관계와 전하 보존을 설명하는 식이다. 저항, 전류원, 커패시터가 연결된 노드에도 일관된 부호로 적용할 수 있다.
방향을 먼저 정하면 음수도 해석할 수 있다
한 노드에 세 가지가 연결돼 있고 모든 가지 전류를 노드 밖으로 나가도록 정했다면 i₁ + i₂ + i₃ = 0이다. 두 가지로 각각 2 mA, 3 mA가 나간다면 나머지는 −5 mA다. 이는 실제로 5 mA가 들어온다는 뜻이다. 어느 화살표를 먼저 선택했는지는 물리적 답을 바꾸지 않는다. 하나는 들어오는 방향, 다른 둘은 나가는 방향으로 정했다면 i_in = i₂ + i₃라고 쓸 수 있다. 서로 다른 두 표기법을 한 식 안에서 섞는 것이 흔한 오류다.
MIT 6.01의 회로 강의는 노드의 전류 합을 회로 해석의 기본 관계로 다룬다. 노드는 반드시 도선들이 교차해 보이는 위치와 같은 것은 아니다. 실제로 전기적으로 이어진 이상적인 도선은 그림에서 길게 떨어져 있어도 하나의 노드다. 단순 교차이며 접속되지 않은 배선은 다른 노드다. 계산 전에 연결 구조를 정확히 읽어야 전류 보존을 올바른 위치에 적용할 수 있다.
저항 관계와 결합하면 노드 전압을 구할 수 있다
기준 노드를 0 V로 정하고, 미지 노드 V가 5 V 노드와 1 kΩ 저항으로 연결됐다고 하자. 미지 노드는 다시 2 kΩ 저항을 통해 기준 노드로 연결된다. 미지 노드에서 밖으로 향하는 전류는 각각 (V − 5)/1000과 V/2000 A다. KCL을 쓰면 (V − 5)/1000 + V/2000 = 0이고, 결과는 V ≈ 3.33 V다. 두 가지 전류는 각각 약 −1.67 mA와 +1.67 mA로 서로 상쇄된다.
이 계산은 옴의 법칙을 각 가지에 적용하고 KCL로 가지를 연결한 것이다. 연결만으로 전류의 크기가 정해지는 것은 아니다. 노드가 N개인 하나의 연결된 회로에서는 보통 독립적인 KCL 관계가 N−1개다. 모든 노드의 식을 더하면 내부 가지 전류가 양 끝에서 반대 부호로 나타나 사라지기 때문이다. 기준 노드를 정해 중복 식을 줄이고, 전압원으로 연결된 노드는 필요하면 슈퍼노드와 추가 전압 관계를 사용한다.
충전되는 회로에서도 보존 법칙은 유지된다
정전 용량 C가 노드와 기준점 사이에 연결되고 노드 전압이 v(t)라면 그 가지 전류는 i_C = Cdv/dt다. 외부 전류 i_in이 들어와 저항 R과 커패시터로 나뉘는 경우 i_in = v/R + Cdv/dt가 된다. 저항 가지에서 보이지 않는 전류가 커패시터 가지로 흐르는 것이다. 커패시터가 충전된다는 이유로 KCL이 무너지는 것이 아니다. 저장되는 전하를 해당 소자의 단자 관계로 회로 모델에 반영해야 한다.
더 일반적으로 실제 공간의 어떤 영역을 둘러싸면 들어오는 전도 전류 − 나가는 전도 전류 = 내부 전하의 변화율이라는 연속 관계가 성립한다. 이상적 노드에서는 별도의 전하 축적을 무시하거나 기생 정전 용량을 소자로 분리해서 모델링한다. 빠른 변화나 누락된 결합 경로가 있는 상황에서 측정한 전류들의 합이 맞지 않으면 전하 보존이 틀렸다고 결론 내리기보다 모델에서 빠진 전류를 찾아야 한다.
MIT 6.002의 기본 회로 해석 강의처럼 KCL을 체계적으로 쓰면 복잡한 회로도 일관된 방정식으로 바뀐다. 가지 방향을 표시하고, 같은 노드를 묶고, 모든 연결 경로를 포함한 뒤 단위를 A로 맞추면 계산을 검산하기 쉽다. KCL은 직류에서만 쓰는 식이 아니다. 시간에 따라 변하는 전류도 각 순간의 값으로 적용하며, 정현파 정상 상태에서는 같은 관계를 페이저로 표현할 수 있다.