RC 저역통과 필터: 한 개의 시간 상수가 신호를 걸러내는 방식
저항과 커패시터만으로 낮은 주파수 성분을 잘 통과시키고 높은 주파수 성분을 줄이는 회로를 만들 수 있다. 입력과 출력 사이에 저항 R을 직렬로 두고 출력에서 기준 전위로 커패시터 C를 연결한 RC 저역통과 필터가 대표적이다. 출력은 커패시터 양단 전압이다. 같은 부품이라도 출력을 저항 양단에서 얻으면 다른 전달 특성이 되므로 회로의 연결과 출력 위치부터 확인해야 한다.
주파수에 따라 바뀌는 임피던스
이상적인 커패시터의 임피던스는 Z_C = 1/(jωC)다. 낮은 주파수에서는 크기가 커서 출력 전압이 입력과 비슷해지고, 높은 주파수에서는 크기가 작아져 출력의 변화가 줄어든다. 무부하 출력과 이상적인 전압원을 가정한 전압 분배식은 H(jω) = Z_C/(R + Z_C) = 1/(1 + jωRC)다. R은 Ω, C는 F 단위로 계산해야 한다.
시간 상수는 τ = RC이며 단위는 초다. 차단 주파수는 f_c = 1/(2πRC)다. 그 주파수에서 출력 진폭은 저주파 진폭의 1/√2, 약 70.7%이며 위상은 -45°다. 음의 위상은 정상 상태 정현파 출력이 입력보다 늦는다는 뜻이다. 차단이라는 이름과 달리 f_c 위의 신호가 갑자기 완전히 사라지는 경계는 아니다.
실제 숫자로 감쇠를 읽는다
R을 10 kΩ, C를 10 nF로 두면 τ = 100 μs, f_c ≈ 1.59 kHz다. 주파수가 0.1f_c이면 크기는 약 0.995로 거의 통과한다. 10f_c에서는 약 0.0995로 줄어 약 -20.04 dB의 전달 크기가 된다. 충분히 높은 주파수의 기울기는 -20 dB/decade다. 입력 전압이 같은 정현파라면 출력 진폭 비를 비교하는 계산이다.
시간 영역에서도 같은 τ가 나타난다. 초기 출력 0 V에서 입력이 일정한 V_step으로 바뀌면 v_out(t) = V_step(1 - exp(-t/τ))다. τ가 지나면 최종값의 약 63.2%, 5τ가 지나면 약 99.3%에 도달한다. 잡음을 줄이려고 차단 주파수를 낮추면 신호 변화에 대한 반응도 느려진다. 주파수 선택과 응답 속도를 서로 독립적으로 바꿀 수 없는 이유다.
부하를 연결하면 식도 바뀐다
출력에 부하 저항 R_L이 연결되면 저주파에서도 전압 분배가 생긴다. 전달 함수는 H(s) = [R_L/(R + R_L)] / [1 + s(R || R_L)C]다. 앞의 10 kΩ 회로에 같은 10 kΩ 부하를 달면 직류 이득은 0.5, 극점 주파수는 약 3.18 kHz가 된다. 차단 주파수는 이 낮아진 통과대역 이득을 기준으로 정의해야 한다. 원래 무부하 식을 그대로 적용하면 두 부분을 모두 놓친다.
Analog Devices의 RC 연결 실습은 다음 필터 단계의 부하가 응답을 바꾸는 문제를 다룬다. 버퍼 없이 두 RC 단을 연결한 결과를 각각의 무부하 전달 함수의 곱으로 계산하는 것은 일반적으로 정확하지 않다. 신호원의 출력 저항이 있으면 그것도 직렬 저항에 포함해 분석해야 한다.
RC 필터는 센서 잡음 감소, 입력의 대역 제한, ADC 앞단의 필터링에 쓰인다. Analog Devices의 앨리어싱 필터 설명은 샘플링 전에 아날로그 성분을 줄이는 역할을 설명한다. 하지만 1차 필터의 완만한 감쇠만으로 모든 고주파 간섭을 충분히 제거할 수 있는 것은 아니다. 신호 대역과 필요한 감쇠량을 먼저 정해야 한다.
부품 공차는 RC 곱과 차단 주파수를 바꾸며, 큰 저항은 열잡음과 입력 바이어스 전류에 의한 오차를 키울 수 있다. 실제 커패시터의 ESR과 기생 성분, ADC의 시간에 따라 변하는 입력 부하도 영향을 준다. 가장 단순한 필터라도 원하는 대역만 보는 대신 부하, 응답 시간, 잡음과 실제 부품 조건을 함께 계산해야 예측한 특성을 얻을 수 있다.