같은 시트저항을 홀 계측으로 다른 농도와 이동도로 나누기

같은 두께의 반도체 막 두 장이 똑같은 시트저항을 보였다. 그렇다면 전자의 수와 이동도도 같을까? 전도도는 캐리어 농도와 이동도의 곱에 의존하므로 그렇지 않다. 전자가 많지만 느린 막과, 전자가 적지만 빠른 막이 동일한 저항을 만들 수 있다. 홀 계측은 자기장에 의해 생기는 횡방향 전압을 더해 이 곱을 풀어낸다.

전류와 수직인 전압이 하나 더 생긴다

전류를 흘리는 막에 수직 자기장을 가하면 움직이는 전하가 로런츠 힘을 받는다. 옆면에 쌓인 전하가 만드는 전기장이 이 힘과 균형을 이룬다. 이때 양옆에서 읽는 전압이 홀 전압 VH다. 균일한 단일 캐리어 막의 단순 모델에서 |VH| = IB/(qns)이며, ns는 면적당 캐리어 수다. 알려진 전류 I와 자기장 B로 ns를 구하고, 시트저항 Rs를 함께 측정하면 홀 이동도 µH = 1/(qnsRs)를 얻는다. NIST 홀 효과 설명, 식 1·2

같은 저항을 가진 가상 막 두 장

두 막의 두께를 모두 100nm, Rs를 1000Ω/□라고 하자. 전자만 전도에 참여하고 홀 인자는 1이라고 가정한다. 막 A의 ns는 10¹³cm⁻², 막 B는 5×10¹³cm⁻²다. q = 1.602176634×10⁻¹⁹C를 사용하면 이동도는 각각 약 624.15와 124.83cm²/(V·s)다. 농도 다섯 배와 이동도 5분의 1이 상쇄되어 저항은 같다.

I = 100µA, B = 0.5T에서 홀 전압 크기는 A가 약 3.121mV, B가 약 0.624mV다. 이 계산에서는 ns를 m⁻²로 변환해 SI 단위를 맞췄다. 두께를 이용한 체적 농도는 각각 10¹⁸과 5×10¹⁸cm⁻³다. 두께를 모르더라도 면적 농도와 홀 이동도는 구할 수 있지만, 체적 농도에는 두께의 불확도가 추가된다.

횡전압 전부가 홀 신호는 아니다

전압 접점이 완벽히 같은 횡단면에 있지 않으면 종방향 전압 일부가 섞인다. 예를 들어 자기장과 무관한 오프셋 2mV가 있고 실제 홀 성분이 ±0.624mV라면, +B에서 2.624mV만 읽고 농도를 계산해서는 안 된다. +B와 −B 측정값의 차이를 2로 나누면 0.624mV가 남는다. 오프셋이 측정 중 일정하다는 조건이 붙는다. NIST의 실제 절차는 전류와 자기장 방향을 바꾸고 접점 조합도 비교한다. NIST 측정 절차, Hall Measurements

홀 전압 부호를 캐리어 종류로 해석할 때도 전류·자기장·전압 단자의 방향을 먼저 정해야 한다. 배선을 바꾸면 표시 부호도 바뀐다. 자기장 세기와 온도, 접촉의 선형성, 시료의 균일성 역시 계산의 입력이다.

계산된 농도와 실제 농도가 갈라지는 경우

한 종류의 캐리어라도 홀 인자 rH가 1이 아닐 수 있다. 저자들이 n형 Ge를 분석한 원문은 RH = −rH/(qn)을 명시한다. 1로 가정해 얻은 농도 nHall은 실제 n/rH다. 가상 rH = 1.2라면 실제 농도는 nHall의 1.2배이고, 홀 이동도도 같은 인자만큼 드리프트 이동도와 다르다. 이 1.2는 Ge의 보편값을 제시한 것이 아니다. Menéndez 등의 원문, PDF 3쪽 식 1

전자와 정공, 또는 서로 다른 전도층이 함께 기여하면 단일 농도 공식은 더욱 조심해야 한다. 전도도는 더해지지만 횡응답은 각 경로의 이동도와 부호에도 영향을 받는다. 한 자기장 값만으로 모든 캐리어를 분리할 수는 없다. 자기장에 따른 응답과 별도 전도 경로를 검토해야 한다.

홀 계측의 좋은 결과는 농도와 이동도 숫자 두 개에 그치지 않는다. 면적 농도인지 체적 농도인지, 단일 캐리어와 홀 인자 가정은 무엇인지까지 붙여야 한다. 그러면 같은 저항을 보인 두 막이 실제로 어떻게 다른지 설명할 수 있다.