같은 RC를 써도 op amp와 OTA 보상기가 다르게 동작한다
다른 regulator의 Type II 보상 RC 값을 복사했는데 loop gain이 맞지 않는다. 두 error amplifier가 모두 같은 이름의 보상을 사용해도, 하나가 voltage를 만들고 다른 하나가 current를 만들면 resistor의 역할이 달라진다. OTA Compensation은 그 current가 어떤 impedance에서 compensation voltage로 바뀌는지부터 읽어야 한다.
op amp의 local feedback과 OTA의 output impedance
ideal op amp 보상에서는 output과 feedback input 사이의 impedance Zf가 local feedback을 만든다. reference를 AC ground로 보면 feedback input은 virtual ground에 가깝다. 출력 rail의 변화가 상단 resistor R1을 통해 current를 만들고, op amp가 Zf로 그 current를 되돌린다.
입력 rail 변화에서 compensation output 변화까지 부호를 포함한 transfer function은 Hop(s)=−Zf(s)/R1이다. 하단 divider resistor R4는 ideal virtual-ground 모델에서 같은 방식으로 AC gain에 들어가지 않는다.
OTA는 input voltage error에 gm을 곱한 output current를 만든다. input은 virtual ground로 강제되지 않으므로 divider 비율 β=R4/(R1+R4)가 rail의 변화를 전달한다. output에 연결한 impedance Z가 current를 voltage로 바꾸어 HOTA(s)=−β×gm×Z(s)가 된다.
TI 보고서는 op amp의 local feedback network와 OTA의 output network를 별도의 회로로 설명한다. 원문의 op amp 식에서 제시한 impedance ratio와 OTA 식을 대조하되, 여기서는 rail 변화에 대한 반전 부호까지 명시했다. SLVA662, 4쪽 Figure 3·식 3–4와 6쪽 Figure 5·식 12
같은 RC가 만드는 impedance를 먼저 계산한다
비교용 network를 C3와 ‘R2+C1 직렬 branch’의 병렬로 정하자. 두 amplifier에서 동일한 R2·C1·C3를 사용하면 network impedance는 다음과 같다.
Z(s) = (1+sR2C1) / [s(C1+C3)+s²R2C1C3]
origin pole, zero 하나, 높은 frequency의 pole 하나가 있다. exact zero frequency는 1/(2πR2C1)이고, finite pole은 (C1+C3)/(2πR2C1C3)다. C3가 C1보다 충분히 작을 때 pole을 1/(2πR2C3)로 근사할 수 있다. 실제 비율을 확인하지 않고 근사와 exact 식을 섞지 않는다.
가상의 R2=10kΩ, C1=10nF, C3=1nF를 넣으면 zero는 약 1.592kHz, finite pole은 약 17.507kHz다. capacitor 두 개가 같지 않지만 C3를 0으로 취급할 수도 없다.
gain이 달라지는 항은 RC 밖에도 있다
R1=40kΩ, R4=10kΩ, gm=100µS를 별도로 가정하면 β=0.2다. 같은 Z를 쓰는 두 회로의 gain 비율은 다음과 같다.
HOTA/Hop = β×gm×R1 = 0.8
같은 frequency에서 OTA의 magnitude가 op amp의 80%이고 약 1.94dB 낮다. 5kHz에서 exact impedance를 대입하면 magnitude는 op amp 약 0.2293, OTA 약 0.1835다. 이 예의 수치는 특정 regulator의 실측 gm이나 권장 compensation 값을 사용한 것이 아니다.
R1과 R4를 함께 두 배로 바꾸면 DC divider 비율은 여전히 0.2다. 같은 RC와 gm에서 OTA의 AC gain은 유지되지만 op amp의 gain은 절반이 된다. 반대로 gm만 두 배가 되는 가정에서는 OTA gain이 두 배가 되고 ideal op amp gain은 그대로다. 같은 output setpoint나 같은 pole·zero 위치가 같은 loop gain을 뜻하지 않는다.
이 network를 두 회로에서 같은 Z로 정했으므로 이 비교의 RC pole·zero 자체는 같다. amplifier와 feedback 항이 바뀌어 gain이 달라진 것이다. 다른 topology나 loading을 가진 실제 보상 회로에서는 impedance와 pole·zero도 다시 계산해야 한다.
compensation gain과 loop gain을 이어서 본다
gain이 20% 달라졌다고 phase margin이 정확히 몇 도 줄어든다고 바로 계산할 수는 없다. power-stage gain의 slope와 phase, crossover 위치가 함께 필요하다. compensator의 magnitude가 바뀌면 같은 power stage에서도 crossover가 이동할 수 있다.
실제 OTA에는 finite output resistance, gm 공차와 온도 변화, output swing과 current limit가 있다. op amp에도 bandwidth와 finite open-loop gain이 있다. 위 ideal 식에서 무시한 항이 목표 crossover 근처에 있는지 확인한다. compensation pin의 DC bias와 startup 중 saturation recovery도 AC 모델 밖의 동작이다.
OTA Compensation을 옮길 때는 RC 이름보다 신호 변환을 따라간다. rail 변화가 divider를 거쳐 어떤 current를 만들고, 그 current가 어떤 impedance에서 voltage로 변하는지 적는다. 그 식을 power stage에 연결하면 같은 Type II 부품값을 복사했는데 gain이 달라진 이유와, 실제로 다시 조정해야 하는 값을 찾을 수 있다.