결정립계 확산은 크기보다 연결 구조에서 차이가 날 수 있다

평균 결정립 크기가 같은 두 금속선은 원자 이동에도 비슷하게 반응할까? 크기는 중요한 단서지만, 원자가 빠르게 지나갈 통로가 어디까지 연결되는지는 알려 주지 않는다. 결정립계 확산은 금속 결정 사이의 경계를 따라 일어나는 물질 이동이다. 경계의 수뿐 아니라 방향과 연결 구조가 이동량 및 고갈 위치에 영향을 줄 수 있다.

경계가 많다는 설명에는 연결이 빠져 있다

결정립계에서는 완전한 결정 내부와 다른 결합 상태가 만들어진다. 특정 조건에서 이 경로를 따른 확산이 내부 확산보다 빠르면 원자의 이동에 크게 기여한다. 그러나 빠른 경계 조각들이 있어도, 원하는 방향으로 계속 이어지지 않으면 도중의 느린 구간이 병목이 될 수 있다.

JPL 원문은 경계가 전기장과 이루는 방향, 경계 사이의 각도, 결정립 밀도를 구분하고 삼중점의 유입·유출을 설명한다. 경계가 세 갈래로 만나는 곳에서는 각 방향으로 전달되는 양이 같지 않아 축적이나 고갈이 생길 수 있다. 이는 결정립 개수만 세어서 얻는 정보와 다르다. JPL 원문 본문 33–34쪽, Material Structure Inhomogeneities

금속과 주변 계면이 더 빠른 경로라면 결정립계의 상대적인 비중은 줄어들 수 있다. 그래서 결정립이 크면 언제나 같은 비율로 수명이 늘어난다는 하나의 규칙으로 다루기 어렵다. Ceric·Selberherr 원문 본문 58쪽 2.2절

빠른 조각들의 평균보다 직렬 병목이 중요하다

연결 효과만 확인하기 위해 전류 구동과 응력 피드백을 제외한 가상 확산 통로를 두자. 두 통로의 전체 길이와 단면은 같고 양끝의 농도 차이도 같다. 느린 구간의 확산계수를 D₀, 빠른 구간은 100D₀로 정한다. 구간 사이에서 정상 유속이 이어지는 1차원 모델이다.

통로 A는 전체 길이에 걸쳐 빠른 경로가 연결돼 있다. 유효 확산계수는 100D₀다. 통로 B는 길이의 70%가 빠르고, 나머지 30%는 내부의 느린 경로를 거쳐야 한다. 직렬 구간의 확산 저항은 길이/확산계수에 비례하므로 다음처럼 계산한다.

1/D유효 = 0.7/(100D₀) + 0.3/D₀

B의 유효 값은 약 3.26D₀다. 빠른 구간이 길이의 대부분을 차지하는데도, A의 전달량은 B의 약 30.7배가 된다. 두 확산계수의 산술 평균 70.3D₀를 사용하면 병목을 크게 과소평가한다. 이 값은 가상 연결 모델의 결과이며 실제 결정립계 확산계수나 배선 수명비가 아니다.

이 계산은 빠른 통로가 얼마나 많은지와, 그 통로가 끝까지 이어지는지가 서로 다른 질문임을 보여 준다. 실제 경계망은 여러 갈래의 병렬 경로와 방향성을 가지므로 한 개의 직렬 통로로 모두 표현할 수는 없다.

빠르게 흐르는 것과 빨리 끊어지는 것도 구별하자

전류가 흐르는 실제 배선에서는 경계의 방향에 따라 구동력의 성분이 달라지고, 응력이 물질 이동을 되돌릴 수 있다. 특정 연결부에서 유출이 유입보다 크면 국소 고갈이 생기지만, 큰 유속이 균일하게 이어지는 구간에서는 같은 고갈이 생기지 않는다. 따라서 유효 확산계수만 얻어도 단선 위치와 시간을 자동으로 알게 되는 것은 아니다.

결정립계 확산을 평가할 때에는 평균 크기와 함께 배향, 경계 연결, 계면 경로의 기여를 확인해야 한다. 이 정보를 고장 위치 및 시간 분포와 연결하면 크기가 같은 선들의 차이를 설명할 수 있다. 금속 조직을 읽는다는 것은 작은 결정이 몇 개인지를 넘어서, 원자가 어느 길로 들어와 어느 길로 빠져나갈지를 읽는 일이다.