광학상수 추출의 작은 잔차가 숨기는 두께 불확도

같은 박막 데이터를 두 사람이 분석했는데, 한 사람은 굴절률이 1.5라고 하고 다른 사람은 2.0이라고 한다. 두 곡선 모두 측정점과 잘 겹친다. 이때 잔차가 작은 쪽을 고르면 문제가 끝날까. 두 분석이 박막의 두께와 계면을 어떻게 가정했는지부터 확인해야 한다.

광학상수 추출은 빛의 응답에서 재료의 굴절률 n과 소광계수 k를 찾는 일이다. 다만 장비가 n과 k를 직접 표시하는 것은 아니다. 층 구조에 대한 모델을 통해 반사나 편광 데이터를 역으로 해석한다.

두께가 바뀌면 빛이 지나간 거리도 바뀐다

n은 빛의 위상 진행과 굴절에, k는 감쇠에 관여한다. 박막 안에서 쌓이는 위상은 굴절률뿐 아니라 실제 두께에도 달려 있다. 따라서 한 변수가 부족한 응답을 다른 변수가 보상할 수 있다.

이 관계만 분리해서 보기 위해, 흡수 없는 균일한 막을 수직으로 통과하는 빛을 생각하자. 진공 파장은 600nm이고 막 내부 왕복 전파 위상은 다음과 같다.

φ = 4πnd/λ

두께 d가 20nm이고 n이 1.5라면 nd는 30nm다. d가 15nm이고 n이 2.0이어도 nd는 30nm라서 φ는 둘 다 약 0.628rad다. 이 한 정보만으로는 두 조합을 나누지 못한다.

여기서 중요한 제한이 있다. 두 조합의 전체 반사 스펙트럼까지 같다는 뜻은 아니다. n이 달라지면 계면의 Fresnel 반사 계수도 달라지고, 비스듬한 입사에서는 내부 각도도 달라진다. 위 계산은 전파 위상 한 항에서 나타나는 보상 관계를 보여주는 자체 예제다. 실제 데이터에 계면 진폭과 여러 파장·각도의 정보가 충분히 남아 있다면 두 조합을 구별할 수 있다.

데이터 수보다 구별되는 정보가 중요하다

파장을 많이 측정했다고 해서 각 파장에서 n과 k를 모두 자유롭게 풀어도 되는 것은 아니다. 두께, 계면층, 거칠기까지 자유 변수에 넣으면 비슷한 곡선을 만드는 조합이 늘 수 있다. 최적화가 찾은 한 점과, 측정으로 좁혀진 허용 범위는 다른 결과다.

Woollam의 광학상수 해설은 파장마다 값을 따로 맞추는 대신 분산 관계를 이용해 자유 변수 수를 줄이는 방법을 설명한다. 다만 변수 수를 줄였다는 사실만으로 모델이 옳아지지는 않는다. 흡수 구간에 투명체용 관계를 그대로 쓰거나, 실제로 변화하는 조성을 균일한 한 층으로 가정하면 작은 잔차와 잘못된 물성이 함께 나올 수 있다.

같은 기관의 최소 두께 FAQ도 매우 얇은 막에서 두께 변화에 민감한 것과 두께·굴절률을 동시에 구별하는 것이 다르다고 설명한다. 모든 얇은 막에서 동시 추출이 불가능하다는 규칙은 아니다. 재료 대비, 측정 범위와 모델이 제공하는 정보가 관건이다.

독립 두께를 넣으면 남은 불확도도 보인다

앞의 단순 위상 예제에서 nd=30nm가 정확히 알려졌다고 하자. 독립 측정으로 d=20nm를 넣으면 n=1.5가 된다. 하지만 두께에 표준불확도 1nm가 있다면, 1차 오차 전파에서 두께로부터 오는 n의 표준불확도는 약 0.075다.

u(n) ≈ n × u(d)/d

두께를 고정하는 것은 이 불확도를 없애는 조작이 아니다. 계산 프로그램이 두께를 정확한 상수로 취급하더라도, 실제 두께의 불확도는 추출된 n에 남는다. 이 예제는 nd의 불확도와 다른 모델 오차를 제외했으므로 실제 총불확도는 별도로 계산해야 한다. 독립 두께 측정이 다른 위치를 대표한다면 막의 균일성도 확인해야 한다.

두 분석 결과를 다시 비교할 때는 잔차, 변수 간 보상 관계, 독립 두께와 계면 가정을 함께 볼 수 있다. 광학상수 추출에서 신뢰할 값은 곡선을 가장 예쁘게 따라가는 숫자가 아니라, 다른 가능한 층 구조를 검토해도 근거와 불확도가 유지되는 값이다.