깊이 분해능을 빼지 않으면 완만한 계면을 확산으로 읽게 된다

SIMS 프로파일에서 농도가 몇 nm에 걸쳐 완만하게 바뀐다. 열처리 중 확산이 생겼다는 해석이 가능하지만, 원래 날카로운 계면을 측정 과정이 퍼뜨린 경우에도 비슷한 곡선이 나온다. 깊이 분해능은 이 둘을 구분하기 위해 측정 결과에 붙여야 하는 조건이다.

깊이 눈금을 촘촘하게 기록한다고 그 간격만큼 구조가 분해되는 것은 아니다. 이온이 시편을 깎는 동안 원자가 섞이고, 표면 높이가 균일하지 않으며, 신호가 유한한 깊이 범위에서 발생한다.

이상적인 계단도 응답을 거치면 곡선이 된다

깊이에 따른 실제 농도를 X(z), 같은 조건의 정규화된 깊이 응답을 g(z)라고 하자. 응답이 깊이에 따라 변하지 않는 단순한 선형 모델에서는 측정 프로파일이 다음 convolution으로 표현된다.

M(z) = ∫ X(z′)g(z−z′)dz′

실제 농도가 계단 모양이어도 응답에 폭이 있으면 경계가 완만해진다. 따라서 측정 곡선의 폭은 실제 계면의 폭과 장비·시료 준비·스퍼터링의 응답을 함께 담는다.

Hofmann의 원 논문 1·2절은 atomic mixing, roughness, information depth를 이용한 MRI 모델과 convolution 해석을 설명한다. 세 항이 모두 같은 모양인 것은 아니다. 혼합과 정보깊이는 비대칭 응답을 만들 수 있고, 거칠기 항은 Gaussian 형태로 모델링한다. 실제 SIMS 응답 전체를 언제나 하나의 대칭 Gaussian으로 대체할 수는 없다.

폭을 뺄 때는 어떤 폭인지 먼저 정한다

계산 원리만 분리하려고 실제 계면의 경계 미분과 측정 응답이 모두 Gaussian이라고 가정하자. 각각의 표준편차를 σ물질, σ응답이라고 하면 convolution의 분산은 더해진다.

σ측정² = σ물질² + σ응답²

가상 측정에서 σ측정=2.0nm, 날카로운 참조 경계로 확인한 σ응답=1.8nm라면 σ물질은 √(4.00−3.24), 약 0.872nm다. 측정한 2.0nm를 실제 확산 길이라고 그대로 이름 붙였을 때와 크게 다르다.

표준편차와 농도 전이 폭도 구별해야 한다. 이 Gaussian 계단 모델의 10%에서 90%까지 깊이 폭은 약 2.563σ다. 위 예의 측정 전이 폭은 약 5.13nm, 응답의 전이 폭은 약 4.61nm, 물질만의 전이 폭은 약 2.23nm다. 서로 다른 정의의 폭을 섞어 제곱해서는 안 된다.

응답보다 좁은 측정 폭이 나와 제곱 차가 음수가 되면, 음수의 물질 폭을 보고할 수 없다. 참조와 미지 시료의 조건 차이, 폭 추정의 불확도, Gaussian 가정을 다시 검토해야 한다. 차가 0에 가까울수록 작은 폭 오차가 복원 결과에 크게 영향을 준다.

날카롭게 복원된 곡선이 새 정보를 보장하지는 않는다

계산 프로그램으로 deconvolution을 하면 경계를 날카롭게 만들 수 있다. 그러나 잡음과 제한된 데이터가 있는 역문제에서는 작은 흔들림도 증폭될 수 있다. 정규화나 사전 가정으로 안정시킨 결과라면, 그 가정이 복원된 모양에 얼마나 영향을 주었는지 확인해야 한다.

실무에서는 후보 농도 분포를 응답과 convolution한 뒤 원래 측정 데이터와 비교하는 forward 계산이 도움이 된다. 서로 다른 실제 계면 폭이 관측 범위에서 비슷한 곡선을 만드는지도 볼 수 있다. 단순히 가장 날카로운 복원 한 개를 고르는 것과 다르다.

깊이 축도 독립된 문제다. 스퍼터 시간이 같아도 재료마다 깎이는 속도가 다르면 깊이 환산이 달라진다. 표면 거칠기가 진행 중 커지거나 계면에서 혼합 조건이 달라지면, 처음에 정한 응답 하나를 전체 깊이에 적용할 수 없다. 농도 감도 보정까지 달라지는 경우에는 폭 해석과 함께 검토해야 한다.

완만한 프로파일을 다시 읽을 때 물어야 할 것은 “몇 nm 확산했는가”만이 아니다. 같은 조건의 참조가 보여준 응답은 어떤 모양이며, 그 응답으로 구별할 수 있는 실제 분포의 범위는 어디까지인가. 깊이 분해능은 실제 확산과 측정이 만든 퍼짐을 나누어 설명하는 출발점이다.