더 자주 읽기와 잡음을 밀어내기는 다르다: 시그마델타 ADC의 원리

사진을 많이 찍는 것과 오차의 모양을 바꾸는 것

흔들리는 저울의 표시를 여러 번 읽어 평균을 내면 값을 더 안정적으로 추정할 수 있다. 다만 매번 같은 방향으로 틀리는 저울까지 평균이 고쳐 주지는 않는다. ADC에서도 더 자주 읽는 오버샘플링이 유용하려면, 줄이려는 오차가 어떤 성질인지부터 알아야 한다.

여기서는 직류부터 B까지의 기저대역을 측정한다고 하자. 필요한 대역에 비해 내부에서 얼마나 빠르게 샘플링하는지를 다음처럼 정의한다.

OSR = f_s / (2B)

OSR은 오버샘플링비, f_s는 내부 샘플링률이다. 시그마델타에서는 변조기의 샘플링률을 뜻한다. 최종 출력 숫자가 나오는 속도와는 다르다. 자료에 따라 OSR을 내부 클록과 출력 데이터율의 비로 부르기도 하므로, 숫자만 비교하지 말고 분모가 무엇인지 확인해야 한다. 같은 출력 속도라도 디지털 필터의 통과 대역은 서로 다를 수 있다.

단순히 더 읽으면 왜 두 배당 약 3 dB인가

먼저 잡음 성형이 없는 이상적인 양자화기를 생각하자. 코드 간격을 고정하고, 양자화 오차가 입력과 무관하며 시간적으로 상관없는 백색잡음처럼 행동한다고 가정한다. 샘플링률을 높이면 전체 양자화 잡음 전력은 같은 채로 더 넓은 나이퀴스트 대역에 퍼진다고 모델링할 수 있다.

이 출력에 관심 대역 B만 통과시키는 이상적인 저역통과 필터를 적용하면, 대역 안에 남는 잡음이 줄어든다. OSR이 1인 기준과 비교한 신호 대 잡음비의 개선은 다음과 같다.

ΔSNR ≈ 10 log₁₀(OSR) dB

같은 B와 신호 크기에서 OSR을 두 배로 늘리면 약 3 dB, 네 배면 약 6 dB의 개선이다. 샘플 수가 늘었다는 사실만으로 새 정보가 생기는 것은 아니다. 오차가 규칙적으로 반복되거나 이미 관심 대역 안에 있는 아날로그 잡음이 지배하면 이 계산대로 계속 좋아지지 않는다. ADI MT-022의 오버샘플링 설명도 잡음 분포와 후단 필터를 함께 놓고 봐야 한다.

시그마델타는 이전 판단을 다음 판단에 돌려준다

시그마델타 변조기는 단순히 샘플 수만 늘리지 않는다. 기본적인 1차 구조에서는 입력과 DAC가 되돌려 준 값의 차이를 적분기에 누적한다. 비교기가 그 누적값을 보고 다음 출력을 고르고, 그 출력이 다시 DAC를 통해 되먹임된다. 이전까지의 불균형이 다음 판단에 영향을 주는 구조다.

1비트 구조라면 순간 출력은 0 또는 1뿐이다. 그러나 안정된 동작 범위에서 천천히 변하는 입력은 긴 비트열 속 1의 밀도에 담긴다. 각 비트가 입력 전압의 정밀한 측정값일 필요는 없다. TI의 변조기 설명이 이 되먹임과 비트 밀도를 보여 준다.

주파수 관점에서는 관심 대역의 양자화 오차를 억제하고 더 높은 주파수에서 크게 만드는 잡음 성형으로 이해할 수 있다. 잡음의 총량을 반드시 보존하며 옮기는 작업이라는 뜻은 아니다. 대역 밖 잡음은 오히려 증폭될 수 있다. 이상적인 1차 모형에서는 충분히 큰 OSR과 양자화 잡음 지배 조건에서 OSR 두 배당 약 9 dB의 개선이 가능하다. 앞의 3 dB와 다른 이유는 되먹임이 오차의 주파수 분포 자체를 바꾸기 때문이다.

덜 출력하기 전에 먼저 걸러야 한다

대역 밖으로 커진 잡음을 그대로 두고 샘플만 듬성듬성 골라 버리면, 낮아진 샘플링률에서 그 잡음이 관심 대역으로 접혀 들어올 수 있다. 따라서 디지털 저역통과 필터로 먼저 억제한 뒤 데이터율을 낮춘다. 이 필터링과 샘플 수 축소가 최종 출력으로 가는 핵심 과정이다.

필터에는 지연과 정착 시간이 있다. 내부 클록을 고정한 채 더 좁은 대역에서 정밀하게 읽으려 하면 출력 속도와 응답 시간을 내주는 경우가 많다. 센서 채널을 바꾼 직후 이전 입력의 영향이 언제 사라지는지도 확인해야 한다. TI의 시스템 상충관계 설명은 이 비용을 다룬다.

또한 입력이 동작 범위를 넘으면 적분기 포화나 루프 과부하가 생길 수 있고, 높은 차수의 되먹임에는 안정성 설계가 필요하다. ADI MT-023이 경고하는 한계다. 열잡음과 회로 오차도 남으며, 처음 아날로그 신호를 샘플링할 때 생긴 앨리어싱을 후단 디지털 필터가 되돌려 주지는 못한다. 시그마델타의 정밀도는 빠른 내부 동작, 되먹임, 대역 제한을 함께 설계한 결과다.