도핑 보상으로 농도를 맞추면 불순물도 사라질까
두 실리콘 시료의 전자 농도가 같으면 전기적 성질도 비슷할 것이라고 기대하기 쉽다. 하나는 도너만 넣어 만들었고, 다른 하나는 도너를 많이 넣은 뒤 억셉터로 일부를 상쇄했다고 하자. 최종 농도가 같아졌다면 두 과정의 흔적도 지워졌을까. 도핑 보상은 캐리어 수를 맞추는 일과 결정 안의 불순물을 없애는 일이 다르다는 것을 보여 준다.
도핑 보상은 도너와 억셉터가 함께 존재해 서로 반대 방향의 전하 공급 효과를 상쇄하는 상태다. 편의상 빼기 계산으로 다룰 수 있는 조건도 있지만, 원자 자체를 제거하는 과정은 아니다. 순도핑과 총도핑을 구분해야 결과를 정확하게 읽을 수 있다.
빼기 계산에 숨은 조건
균일한 벌크가 열평형에 있고 전하중성이 성립한다고 놓자. 도너와 억셉터가 모두 이온화되어 있다면 n−p=ND−NA다. n과 p는 전자·정공 농도, ND와 NA는 도너·억셉터 농도다. 순도핑은 이 차이이고, 총불순물 농도는 합이다. 전자 수를 결정하는 데 들어가는 차이와 산란에 영향을 주는 전체 원자 수가 다른 계산에 들어간다.
비축퇴 반도체의 열평형에서는 np=ni²도 성립한다. ni는 같은 온도에서의 진성 캐리어 농도다. 순도핑이 양수이고 ni보다 훨씬 크면 n은 ND−NA에 가까워지고 p는 ni²/n으로 작아진다. 다만 완전 이온화와 중성이라는 전제가 있어야 이 익숙한 결과가 나온다.
MIT의 캐리어 통계 강의는 농도와 전하중성의 관계를 정리한다. 보상된 시료에 적용할 때는 한 종류의 도펀트만 존재하는 예제를 두 종류의 이온 전하로 확장해야 한다. 낮은 온도 등에서 이온화가 불완전하면 총농도 대신 이온화된 도너와 억셉터의 농도를 수지에 넣는다.
가상의 A 시료는 ND=1×10¹⁶cm⁻³이고 억셉터가 없다. B는 ND=1×10¹⁷cm⁻³, NA=9×10¹⁶cm⁻³라고 하자. 둘 모두 완전 이온화되고 ni를 무시할 수 있는 n형 조건이면 순도핑은 1×10¹⁶cm⁻³로 같다. 전자 농도도 거의 같다.
그러나 A의 총도핑은 1×10¹⁶cm⁻³이고 B는 1.9×10¹⁷cm⁻³다. B에는 19배 많은 도펀트가 남아 있다. 빼기 계산이 지운 것은 농도 수지에서의 반대 효과이지 원자도, 전기장도, 산란원도 아니다. 이 차이가 보상된 재료를 단순히 약하게 도핑한 재료로 취급할 수 없게 만든다.
중성이라는 말이 산란의 부재를 뜻하지 않는다
양전하와 음전하의 전체 합이 작더라도, 각 이온 주변에는 캐리어와 상호작용하는 국소 전기적 환경이 있다. 이온화된 불순물은 캐리어의 운동량을 바꾸는 산란원이 될 수 있다. 보상으로 순캐리어 수를 낮추어도 산란원 수는 많게 남을 수 있다.
MIT의 캐리어 동역학 강의는 이온화 불순물 산란과 격자 산란을 구별한다. 실제 이동도는 온도, 차폐, 불순물 분포와 다른 산란을 함께 고려해야 한다. 그래서 총도핑이 19배라고 이동도가 정확히 19분의 1이 된다는 결론은 나오지 않는다. 총불순물 수는 고려할 변수이지 보편적인 비례 법칙은 아니다.
전도도 계산으로 영향의 자리를 확인할 수 있다. 예시로 A와 B의 전자 농도가 모두 1×10¹⁶cm⁻³이고, 어떤 측정 조건에서 이동도가 각각 1000과 500cm²/(V·s)라고 가정하자. 이 이동도 값은 가상 입력이며 앞의 도핑만으로 산출한 물성은 아니다. 전자의 전도도가 qnμ이면 A는 약 1.6S/cm, B는 0.80S/cm다.
그 역수인 비저항은 약 0.62Ω·cm와 1.25Ω·cm다. 캐리어 농도는 같아도 이동도 차이가 그대로 저항 차이에 들어간다. 도핑 보상으로 얻은 목표 농도가 맞다는 사실만으로 저항 목표까지 맞았다고 판단하기 어려운 이유다. 농도와 이동도를 별도로 측정하면 이 원인을 구분할 수 있다.
이 원리는 표면이나 접촉을 비교할 때도 유용하다. 저항이 높아진 결과만으로 “캐리어를 충분히 못 넣었다”고 결론내리지 말아야 한다. 캐리어 수가 줄었는지, 이동도가 줄었는지, 다른 직렬 요소가 생겼는지 확인해야 한다. 보상은 그중 농도와 산란을 동시에 바꿀 수 있는 경로다.
작은 공정 변동이 순농도에는 크게 보인다
보상은 서로 큰 두 수를 빼 작은 값을 만드는 작업이다. 따라서 각 농도의 절대 변동이 작아 보여도 순농도에 대한 상대 변동은 커질 수 있다. 이것은 도핑의 특별한 신비가 아니라 뺄셈의 민감도다.
앞의 B에서 도너가 기준보다 1% 많고 억셉터가 1% 적어졌다고 가정하자. 도너 변화는 +1×10¹⁵cm⁻³, 억셉터 변화는 −9×10¹⁴cm⁻³다. 순도핑 변화는 두 변화를 빼므로 +1.9×10¹⁵cm⁻³다. 기준 순도핑 1×10¹⁶cm⁻³에 비해 19% 늘어난다.
이는 서로 반대 방향으로 변한 한 가지 경우를 계산한 것이며, 모든 제조 산포가 19%라는 주장은 아니다. 두 변동이 같은 방향으로 움직이거나 서로 상관되어 있으면 결과가 달라진다. 실제 변동을 예측하려면 각 농도의 분포와 상관이 필요하다. 예시는 보상율이 클수록 작은 순값이 공정 오차에 민감해질 수 있음을 보여 준다.
한 종류의 도너만 1×10¹⁶cm⁻³ 넣은 A가 같은 1% 상대 변화라면 순도핑도 1% 변한다. 두 공정이 같은 목표 농도를 만든다고 목표의 안정성까지 같은 것은 아니다. 보상 정도와 순농도의 균일성을 함께 봐야 하는 까닭이다.
공간적으로도 같은 질문을 할 수 있다. 도너와 억셉터가 서로 다른 확산 경로나 분포를 가지면 평균값의 차이가 맞아도 위치별 순농도는 달라질 수 있다. 전체 면적에서 얻은 하나의 평균 농도는 국소적으로 어느 부호가 우세한지 설명하지 못한다. 특히 두 프로파일이 비슷한 크기로 겹치는 곳에서는 작은 위치 차이가 중요한 결과를 만들 수 있다.
온도를 바꾸면 같은 빼기를 할 수 있을까
온도가 낮아지면 도너와 억셉터가 모두 완전히 이온화되었다는 가정부터 확인해야 한다. 각 불순물 준위의 위치와 페르미 준위에 따라 이온화 비율이 달라진다. 총도너에서 총억셉터를 뺀 값이 모든 온도에서 자유캐리어 농도를 그대로 주지는 않는다.
이때는 이온화 상태, 전자·정공 통계, 전하중성을 동시에 풀어야 한다. 도핑 보상에 대한 상온의 간단한 수지가 저온의 전도도를 직접 예측하는 식이 되지 않는 이유다. 마찬가지로 고농도에서는 축퇴와 밴드 변화가 들어와 단순 비축퇴 통계의 범위를 벗어날 수 있다.
도핑 보상을 평가할 때 가장 도움이 되는 기록은 목표 순농도와 실제 총농도를 나란히 남기는 것이다. 이어 사용 온도의 활성 캐리어 농도와 이동도를 확인하면 수지와 수송이 모두 맞는지 알 수 있다. 공정 안정성이 중요하다면 각 도핑 단계의 변동과 공간적 상관도 함께 봐야 한다.
처음의 질문에 답하자면, 같은 전자 농도는 같은 재료 상태를 보장하지 않는다. 보상으로 캐리어 수를 맞추어도 결정 안의 불순물과 공정 변동은 남는다. 차이로 정해지는 농도와 합에 영향을 받는 산란을 구분하면, 숫자는 맞았는데 저항이나 균일성이 다른 이유를 훨씬 정확하게 설명할 수 있다.