로그정규 수명에서 평균 증가가 조기 고장 개선을 뜻하지 않는 이유

수명 평균이 늘었는데 조기 고장 비중도 늘어날 수 있을까? 긴 꼬리를 가진 분포에서는 가능한 일이다. 오래 버티는 일부가 평균을 끌어올리는 동안 짧은 수명의 꼬리도 넓어질 수 있다. 로그정규 수명은 시간에 자연로그를 취한 값이 정규분포를 따르는 모델이다. 평균과 중앙값, 짧은 수명 쪽의 분위수를 나누어 읽어야 한다.

작은 비율 변화가 로그에서는 더해진다

가상 소자의 열화 속도를 R = R₀exp(X₁+⋯+Xₙ)으로 두자. 각 X는 속도를 곱셈으로 바꾸는 로그 성분이다. 임계 손상량은 같고 각 소자의 속도가 시간에 대해 일정하다고 정하면, 수명은 T = T₀exp[−(X₁+⋯+Xₙ)]이다.

Xi가 서로 독립인 평균 0의 정규 변수라면 합도 정규 변수다. 따라서 이 모델의 수명은 로그정규가 된다. 예를 들어 각 로그 성분의 표준편차가 0.1이고 아홉 개가 더해지면 전체 로그 표준편차는 0.3이다. 백 개면 1이다. 분산을 더한 뒤 제곱근을 취한 값이며 특정 공정의 변동 요소 개수를 뜻하지 않는다.

이 구성은 가능한 수학적 경로 하나다. 일반적인 작은 곱셈 변동에서도 조건에 따라 로그 영역의 근사가 유용할 수 있지만, 상관이 강하거나 한 요소가 지배하면 단순한 분산 합과 정규 근사를 다시 확인해야 한다. NIST도 곱셈형 열화의 논거를 설명하면서 모든 관련 메커니즘에 로그정규가 항상 맞는 것은 아니라고 구분한다. NIST 로그정규 모델의 적용과 곱셈형 논거

같은 중앙값에 폭만 다르게 주면

표준 정규 변수 Z를 써서 T = 1000시간×exp(σZ)로 표현한 두 가상 집단을 비교하자. 두 집단의 중앙값은 모두 1000시간이다. σ = 0.3인 A와 σ = 1인 B는 로그 영역의 폭이 다르다.

로그정규의 평균은 중앙값×exp(σ²/2)다. A는 약 1046시간, B는 약 1649시간이다. B의 평균이 더 크다. 그런데 초기 10%가 고장 나는 시간은 A가 약 681시간, B가 약 278시간이다. B는 평균만 보면 길지만 짧은 수명 쪽의 위험도 더 넓게 퍼져 있다.

90%가 고장 나는 시간은 A가 약 1469시간, B는 약 3602시간이다. B의 오래 사는 꼬리도 함께 넓어졌기 때문에 평균이 올라간 것이다. 중앙값을 고정하고 폭을 늘린 이 비교에서는 평균 증가를 모든 소자의 개선이라고 해석할 수 없다.

분위수는 1000시간×exp[σΦ⁻¹(p)]로 구했다. Φ⁻¹은 표준 정규분포의 분위수 함수다. 이 계산은 지정한 두 분포의 성질이며 실측 반도체 수명이나 물리적인 가속 배율을 주장하지 않는다.

로그 영역에서만 평균내면 다른 숫자가 된다

고장 시간의 로그를 평균내고 다시 지수로 바꾸면 기하평균이 나온다. 로그정규 모집단에서는 이 값이 중앙값에 대응한다. 실제 시간의 산술 평균인 MTTF와는 다르다. 같은 ‘평균 수명’이라는 표현에 두 계산을 섞으면 긴 꼬리의 기여가 사라진다.

시험 종료까지 살아남은 소자가 있으면 그 시간은 정확한 고장 시간이 아니다. 로그를 취해도 이 관측의 종류가 바뀌지 않는다. 정상 종료 시간을 고장으로 입력하거나, 살아남은 소자를 빼고 로그를 평균내면 분포 추정에 다른 편향이 들어간다.

잘 맞는 분포와 입증한 원인은 구별한다

로그정규가 고장 시간에 잘 맞아도 앞의 독립 속도 성분 모델이 실제로 존재한다고 증명되는 것은 아니다. 다른 열화 과정이나 집단의 조합이 작은 표본에서 비슷한 곡선을 만들 수 있다. 적합한 분포를 찾는 작업과 고장 부위·이동 경로를 확인하는 작업은 서로 보완한다.

로그정규 수명을 보고할 때에는 중앙값, 로그 표준편차, 목표 고장 비중의 시간 및 추정 불확실성을 함께 확인하는 것이 좋다. 평균이 길어졌다는 결과가 조기 고장까지 개선했는지 판단하려면 짧은 수명 쪽을 직접 봐야 한다. 긴 꼬리에 끌린 평균과 실제 사용 기간에 필요한 수명은 서로 다른 질문에 답한다.