무고장 신뢰구간에서 0건을 판단하려면 시험량이 필요하다

1000개의 칩을 시험해 고장이 하나도 없었다. 좋은 결과이지만 불량 가능성이 정확히 0이라는 뜻은 아니다. 짧은 시험에서도 긴 시험에서도 ‘0건’은 나올 수 있기 때문이다. 무고장 신뢰구간은 고장 0건을 관측했을 때, 시험량과 모델을 이용해 가능한 위험의 상한을 정하는 방법이다.

0건의 정보량은 노출량에 달려 있다

각 칩이 같은 일정 위험률 λ를 가지며 독립이고, 모두 새 상태에서 정해진 시간까지 시험된다고 가정하자. 총 노출량을 U 소자·시간으로 적으면 모든 칩이 살아남을 확률은 exp(−λU)다. λ가 크더라도 유한한 시험에서 우연히 0건을 관측할 가능성은 남는다.

단측 95% 상한은 exp(−λ상한U) = 0.05를 풀어 얻는다.

λ상한 = −ln(0.05)/U ≈ 2.996/U

이것은 위험률을 0으로 추정한 값과 다르다. NIST도 무고장 결과에서는 노출량과 신뢰 수준으로 단측 한계를 계산한다고 설명한다. 여기서는 수리 사건을 세는 대신 비수리 칩의 첫 고장을 일정 위험률 모델로 다룬다. NIST Zero Fails Case

같은 0건이라도 시험량을 열 배 늘리면

가상 시험 A는 칩 100개를 각각 1000시간 시험한다. U는 10만 소자·시간이다. 고장 0건이면 위험률의 단측 95% 상한은 약 3.00×10⁻⁵/시간이다.

시험 B는 같은 조건에서 칩 1000개를 각각 1000시간 시험한다. U는 100만 소자·시간이다. 0건일 때 상한은 약 3.00×10⁻⁶/시간으로 열 배 작아진다. 같은 ‘무고장’ 표시에도 B가 더 낮은 위험률까지 제한할 정보를 준다.

이 상한을 1000시간 사용의 고장확률 1−exp(−λ×1000시간)에 넣으면 A는 약 2.95%, B는 약 0.299%의 상한이다. 0건을 관측했다는 것과 모집단의 고장확률을 어느 수준까지 제한했다는 것은 서로 다른 문장이다. 계산값들은 지정한 가상 시험 조건에 대한 것이며 제품 보증치가 아니다.

시간당 모델과 기간당 확률을 구분한다

동일한 기간을 시험한 독립 칩 n개가 모두 정상이라면, 그 기간의 고장확률 p에 대해 (1−p)ⁿ = 0.05를 풀 수도 있다. 상한은 p상한 = 1−0.05^(1/n)이다. 앞의 1000개 예에서는 약 0.299%로 같은 값이 나온다.

이 기간별 이항 계산에는 일정한 시간당 위험률을 가정할 필요가 없다. 하지만 다른 사용 기간으로 옮기려면 시간 분포에 대한 모델이 필요하다. ‘1000시간에서의 확률 상한’을 ‘시간당 위험률 상한’처럼 취급해서는 안 된다.

또한 시간당 일정 위험률 모형에서 같은 총 노출량을 가진 짧은 다수 시험과 긴 소수 시험은 무고장 확률이 같다. 열화로 위험률이 증가하는 경우에는 둘을 동일하게 다룰 근거가 사라진다. 어떤 시간 모델에서 노출량을 합쳤는지 밝혀야 한다.

독립성과 시험 조건도 숫자의 일부다

여러 칩이 같은 온도 이상이나 같은 전원 고장에 함께 영향을 받는다면 독립 시행이라는 가정을 다시 봐야 한다. 한 로트의 결과를 모든 제조 조건으로 확대하는 데에도 추가 근거가 필요하다. 가속 시험이라면 사용 조건으로 옮기는 가속계수의 불확실성까지 남는다.

95%라는 값은 같은 절차를 반복했을 때 구간이 참값을 포함하는 방식의 신뢰 수준이다. 이미 고정된 참 위험률이 이번 구간에 들어 있을 확률을 계산한 표현과는 구분한다. 수치와 함께 단측 여부, 신뢰 수준, 시험량, 모델을 적으면 해석이 분명해진다.

무고장은 실패를 보지 못한 결과다. 위험이 존재하지 않는다는 증명은 아니다. 0건을 낮은 위험의 근거로 바꾸려면 충분한 노출량과 적절한 독립성·시간 모델이 필요하며, 그 조건을 붙인 상한이 결과의 실질적인 내용이다.