보이드 핵생성의 장벽과 성장 시간을 따로 보는 이유

금속 배선의 저항이 한동안 거의 그대로이다가 나중에 급격히 늘었다면, 앞의 조용한 시간이 모두 안전한 시간이었을까? 관찰 가능한 빈 공간이 생기기 전의 준비 과정과, 생긴 공간이 연결을 방해할 만큼 커지는 과정은 구분할 필요가 있다. 보이드 핵생성은 작은 빈 공간이 계속 성장할 수 있는 상태로 넘어가는 문제다. 이미 생긴 공간의 성장 속도와 같은 질문이 아니다.

작은 공간은 생기는 것만으로 살아남지 못한다

완벽한 금속 내부에 구형 빈 공간이 생기는 이상적인 모형을 생각해 보자. 새 표면을 만드는 데에는 에너지가 필요하다. 반면 인장 상태에서 공간이 커지면 응력 에너지를 낮출 수 있다. 이 두 효과를 가장 단순하게 쓰면 다음과 같다.

ΔG(r) = 4πγr² − (4π/3)r³Δp

γ는 표면 에너지, Δp는 빈 공간의 성장을 돕는 유효한 인장 구동 압력의 크기다. 표면 항은 r², 체적 항은 r³에 비례한다. 아주 작은 공간에서는 표면 비용이 커서 다시 사라지는 쪽이 유리하다. 반지름 r* = 2γ/Δp에 도달하면 에너지 장벽의 꼭대기를 지나며, 그보다 큰 공간은 이 모형에서 성장하는 쪽으로 에너지가 낮아진다.

γ = 1J/m², Δp = 0.5GPa라는 가상 값을 넣으면 r*는 4nm다. 장벽은 16πγ³/(3Δp²) = 약 6.70×10⁻¹⁷J, 약 418eV다. 400K에서 kT는 약 0.0345eV이므로 장벽은 그 약 1만 2100배다. 이 값들은 실제 구리 배선의 물성이나 실측 장벽을 나타내지 않는다. 완벽한 내부의 표면 생성 비용이 얼마나 큰 장애물이 될 수 있는지 보여 주는 계산이다.

실제 핵생성 위치에는 계면의 사정이 있다

Ceric과 Selberherr의 원문은 단순한 공공 농도 문턱이나 인장 응력 문턱만으로 핵생성을 보편적으로 정당화하기 어렵다고 지적한다. 완전한 내부의 균질 핵생성과, 접착이 약한 계면에서 생기는 공간을 구분하며 후자에서는 이미 존재하는 결함의 크기와 계면 에너지가 중요해질 수 있다고 설명한다. 원문 본문 70쪽 3.5절

따라서 앞의 4nm를 모든 공정의 핵생성 크기라고 해석하면 안 된다. 오염이나 접착 불량이 있는 계면은 새 표면을 만드는 비용과 모양 자체가 다르다. 같은 평균 응력에서도 출발 상태가 달라지면 핵생성 가능성이 달라진다. 응력이 얼마를 넘으면 어디서나 즉시 빈 공간이 생긴다는 하나의 숫자로 바꾸기 어려운 이유다.

전체 수명을 줄인 단계가 무엇인지 확인해야 한다

성장 가능한 공간이 나타나기까지의 시간을 tN, 이후 정해진 고장 크기까지 자라는 시간을 tE로 두면 전체 시간은 tN + tE다. 이 구분은 원문의 두 단계 설명과도 연결된다. 원문 본문 60쪽 3절 식 40

가상 시험에서 두 시간이 각각 100시간과 200시간이면 전체는 300시간이다. 같은 고장 크기까지의 성장 속도만 두 배가 돼 tE가 100시간으로 줄면 전체는 200시간이다. 반면 초기 계면 결함 때문에 tN만 10시간으로 짧아지면 전체는 210시간이다. 전체 수명은 비슷해 보여도 바뀐 단계와 개선해야 할 원인이 다르다. 이 시간들은 예시로 지정한 값이며 앞의 에너지 장벽으로 산출한 값이 아니다.

저항이 아직 변하지 않았다는 관찰만으로 내부 재배치가 없었다고 판단할 수는 없다. 핵생성 전의 상태와 성장 중 공간의 크기를 다른 방법으로 확인할 필요가 있다. 보이드 핵생성을 따로 보는 이유는 수명을 더 복잡하게 표현하려는 데 있지 않다. 빈 공간이 처음 살아남게 한 조건과, 그 공간을 크게 만든 조건을 구별해야 올바른 개선 지점을 찾을 수 있기 때문이다.