빛을 네 배 더 쏴야, 어떤 오차는 겨우 절반으로 줄어든다

같은 평균은, 같은 한 번을 뜻하지 않는다

매표소에 손님이 평균 1분에 100명 온다고 해도 매분 정확히 100명이 들어오는 것은 아니다. 빛을 이용해 회로를 찍을 때도 평균 노광량이 같다는 사실만으로 아주 작은 영역이 매번 똑같은 반응을 보장받지는 않는다.

EUV 노광에서는 빛의 에너지가 광자 단위로 전달된다. 감광막의 작은 영역을 따로 보면 흡수된 광자의 수가 흔들리고, 그 뒤의 화학 반응도 확률적으로 진행된다. 흔들림의 크기를 알려면 ‘빛을 얼마나 쐈는가’와 함께 ‘어느 크기의 영역에서 무엇을 셌는가’를 정해야 한다.

노광량을 흡수 광자 수로 바꿔보자

영역 안의 빛 세기가 균일하다고 근사하면 평균 흡수 광자 수는 다음처럼 쓸 수 있다.

N̄ = η D A / (hc/λ)

D는 단위 면적당 입사 에너지인 노광량, A는 관찰하는 면적, η는 해당 감광막 두께에서의 흡수 비율이다. h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도, λ는 파장이다. 분모는 광자 하나의 에너지다. D와 A의 면적 단위를 맞춰야 한다.

같은 입사 에너지와 면적이라도 파장이 짧으면 광자 하나가 더 큰 에너지를 가져 광자 수는 적어진다. 또 입사한 광자가 모두 흡수되는 것은 아니므로, 입사 광자 수와 반응을 시작할 수 있는 흡수 광자 수를 구분해야 한다. Chris Mack의 광자 통계·흡수 모델

η와 두께, 노광량이 그대로라면 관찰 면적을 4분의 1로 줄일 때 평균 광자 수도 4분의 1이 된다. 웨이퍼 전체의 빛은 충분해 보여도, 실제로 선의 가장자리를 결정하는 작은 영역의 통계는 훨씬 거칠 수 있다.

광자가 많아질수록, 상대적인 흔들림은 줄어든다

광자 도착과 흡수를 독립적인 사건으로 보고 평균 조건이 일정한 단순 모델에서는 광자 수를 포아송 분포로 다룬다. 이때 분산은 평균과 같고, 상대 표준편차는 다음과 같다.

σN / N̄ = 1 / √N̄

σN은 흡수 광자 수의 표준편차다. 평균 100개라면 표준편차는 10개, 상대적으로 10%다. 평균 400개라면 표준편차는 20개로 커지지만 평균 대비로는 5%다. 이는 통계식에 넣은 예시이며 실제 감광막의 관측값은 아니다. 광자 수의 절대 흔들림이 커져도 상대 흔들림은 줄어들 수 있다.

따라서 다른 조건을 유지하며 광자 수의 상대 오차를 절반으로 줄이려면 네 배의 광자가 필요하다. 노광량을 두 배로 늘렸다고 오차도 절반이 되는 구조가 아니다. 이 제곱근 관계 때문에 낮은 노광량과 작은 패턴, 작은 변동을 한꺼번에 얻기가 어려워진다.

그렇다고 선폭 오차도 이 식에 따라 정확히 계산되는 것은 아니다. 감광막 분자 수, 광자 흡수 이후의 전자와 반응 과정, 경계에서 밝기가 변하는 기울기가 결과를 바꾼다. Mack의 후속 연구는 오차가 노광량의 제곱근에 반비례해 보인다는 사실만으로, 광자 잡음이 유일한 원인이라고 결론 내릴 수 없다고 설명한다. Mack, EUV 확률적 변동의 스케일링 연구

더 오래 비추는 비용과, 평균 밖의 실패

웨이퍼에 도달하는 빛의 세기가 고정되어 있다면 노광량을 늘리려면 더 오래 비춰야 한다. 이 조건에서 노광량 네 배는 노광 시간 네 배다. 다만 장비에는 이동과 측정 등의 시간도 있으므로 전체 시간당 생산량이 정확히 4분의 1이 된다는 뜻은 아니다.

더 많은 빛도 모든 실패를 단조롭게 줄여주지는 않는다. 노광량을 바꾸면 인쇄되는 선폭과 구멍 크기 자체가 달라져, 부족한 노광에서의 실패를 줄이는 대신 다른 형상의 실패가 늘 수 있다. imec 연구진은 평균 선폭의 변동뿐 아니라 선 끊김, 미세한 연결, 빠진 구멍 같은 드문 실패를 별도로 분석한다. imec의 확률적 결함 연구 설명

표준편차는 흔들림을 압축한 숫자다. 회로를 망가뜨리는 드문 사건의 확률까지 그 숫자 하나로 정해지지는 않는다. EUV 공정은 광자를 더 모으는 일, 흡수와 화학 반응을 설계하는 일, 실제 실패의 꼬리를 측정하는 일을 함께 해야 한다.