산 확산길이가 두 배여도 경계가 두 배 움직이는 것은 아니다

노광량을 그대로 두고 베이크 시간만 늘렸는데 선폭이 달라졌다면, 빛의 분포만으로 결과를 설명하기 어렵다. 노광 후에도 산은 이동하고 반응은 계속된다. 산 확산길이는 이 이동의 크기를 가늠하는 출발점이지만, 그 길이를 곧바로 선폭 오차라고 읽으면 중요한 단계를 건너뛰게 된다.

확산길이는 이동의 통계적 크기다

한 방향으로 산이 자유롭게 확산하고 확산계수 D가 일정하다면, 초기 위치에서 벗어난 거리의 제곱 평균은 2Dt다. 따라서 제곱평균제곱근 거리는 √(2Dt)로 쓴다. 이것은 모든 산이 그 거리에서 멈춘다는 뜻이 아니다. 분포의 넓이를 나타내는 값이며, 세 방향의 전체 이동거리를 다루는 √(6Dt)와 구분해야 한다.

가상의 레지스트에서 D를 1nm²/s로 고정하자. 25초 뒤의 한 방향 확산길이는 약 7.07nm이고, 100초 뒤에는 약 14.14nm다. 시간이 네 배가 되어도 길이는 두 배가 된다. 온도나 반응 상태에 따라 D가 바뀌는 실제 레지스트에서는 이 단순 비례부터 다시 확인해야 한다. Mack의 원문은 산 확산계수를 위치와 시간의 함수로 다루고, 반응 상태에 의존하는 경우도 논의한다. Mack, 1995, PDF 5–6쪽

경계는 어떤 임계를 택하느냐에 따라 움직인다

초기에 x<0 영역의 산 농도는 A₀이고, x>0에서는 0인 무한한 일차원 공간을 생각해 보자. 산의 생성·소멸과 경계 효과 없이 일정한 D로 확산시키면 농도는 다음처럼 부드러워진다.

A(x,t)/A₀ = 0.5 × erfc[x/(2√Dt)]

erfc는 상보 오차함수다. 날카로웠던 농도 단차가 넓어지는 모습이 이 식에 들어 있다. 여기서 설명용으로 최종 산 농도가 A₀의 25%인 위치를 경계로 정의하면, x ≈ 0.9539√Dt가 된다. 앞의 가상 조건에서 25초에는 원래 경계 밖으로 약 4.77nm, 100초에는 약 9.54nm 이동한다.

흥미로운 반례도 있다. 임계를 50%로 정하면 두 시간 모두 경계는 x=0에 남는다. 농도 분포는 분명 더 퍼졌는데, 선택한 경계의 위치는 바뀌지 않은 것이다. 75%를 택하면 경계는 반대쪽으로 이동한다. 확산길이만 알고 경계 이동의 크기와 방향을 결정할 수 없는 이유다.

현상 경계는 최종 산 농도만 보지 않는다

위 예제의 25% 임계는 계산을 보기 위한 정의다. 실제 패턴에서 현상 여부는 산이 베이크 동안 얼마나 반응을 일으켰는지, 남은 보호기의 비율이 얼마인지, 현상 속도가 그 상태에 어떻게 의존하는지에 달려 있다. 최종 시점의 산 농도 하나가 같더라도, 그곳에 산이 머문 시간이 다르면 누적 반응량이 달라질 수 있다. 그래서 원문에서도 촉매 반응식과 확산식을 결합해 다룬다. Mack 원문, PDF 4–6쪽

산의 이동이 미세한 반응 불균일을 완화하는 효과도 있으므로, 확산길이가 짧을수록 항상 더 좋은 패턴이라고 단정할 수 없다. 광산 발생의 불균일, 산 손실, 반응 및 현상 특성이 함께 작동한다. Willson 연구실의 베이크 모델 설명

베이크를 늘렸을 때 선폭이 바뀌는지 알고 싶다면, 산 확산길이와 함께 경계를 만드는 반응 임계를 확인해야 한다. √(2Dt)는 이동 규모를 알려준다. 그 이동이 어느 쪽을 얼마나 현상되게 만드는지는 반응의 시간 이력과 현상 조건이 결정한다.