상수원 확산에서 일정한 것은 표면 농도다

도펀트를 계속 공급하면서 열처리하면 표면 농도도 계속 높아질까? 공급원이 표면 농도를 일정하게 유지하는 조건에서는 그렇지 않다. 더 들어오는 원자는 표면 값을 올리는 대신 내부 프로파일을 깊고 넓게 만든다. 상수원 확산에서 일정한 것은 표면 농도이며, 실리콘에 들어간 총 도펀트 수는 계속 증가한다.

여기서는 평평한 실리콘 표면을 x = 0, 내부를 x > 0으로 놓자. 처음 내부에는 관심 도펀트가 없고, 일정한 온도에서 확산계수 D가 농도나 위치에 의존하지 않는다고 가정한다. 표면의 경계 조건은 모든 시간에 C(0,t) = Cₛ다. 필요한 도펀트를 공급원이 계속 보충해 이 값을 유지한다.

공급원이 유지하는 경계

Fick의 확산식 ∂C/∂t = D∂²C/∂x²에 이 경계를 적용하면 해는 다음과 같다.

C(x,t) = Cₛ erfc[x/(2√Dt)]

erfc는 상보 오차함수다. x = 0에서는 1이고 깊어질수록 감소하므로 표면은 Cₛ에 고정되고 내부에는 농도 기울기가 생긴다. 시간이 늘어나면 분모의 √Dt가 커져 같은 깊이에서 농도가 높아진다. MIT 원문 강의록 PDF 12–13쪽은 상수 표면 농도의 해와 공급 조건을 설명한다.

이 경계는 공급원이 단순히 존재한다는 조건보다 강하다. 표면으로 들어오는 양이 내부로 확산되는 양을 감당하고, 표면 반응도 그 농도를 만들 수 있어야 한다. 고체 용해도에 가까운 일정 농도를 유지하는 상황이 한 예지만, 모든 도펀트 공급 과정이 자동으로 이 모델에 해당하지는 않는다.

시간이 네 배면 무엇이 두 배가 될까

가상의 Cₛ = 10¹⁸cm⁻³, D = 10⁻¹⁴cm²/s로 계산하자. 1시간에서 2√Dt는 0.12µm이고, 4시간에서는 0.24µm다. 프로파일의 가로 척도가 두 배가 된다. 표면 값은 두 경우 모두 10¹⁸cm⁻³로 같다.

전체 도즈 Q는 깊이 방향 농도를 적분한 값이며 단위는 cm⁻²다.

Q = ∫₀∞ C(x,t) dx = 2Cₛ√(Dt/π)

1시간에는 약 6.77×10¹²cm⁻², 4시간에는 약 1.35×10¹³cm⁻²다. 시간이 네 배일 때 총량은 두 배 증가한다. 공급이 계속된다고 총량이 시간에 비례해 늘어나는 것은 아니다. 프로파일이 넓어지면서 표면 근처의 농도 기울기가 완만해져, 내부로 들어가는 순간 유속이 줄기 때문이다.

접합 깊이를 보는 예도 만들 수 있다. 반대 타입의 균일한 활성 배경 농도를 10¹⁶cm⁻³로 두고, 도펀트가 모두 활성화되어 두 농도가 같아지는 지점을 접합으로 정의하자. C/Cₛ = 0.01이므로 erfc의 인수는 약 1.821이다. 접합 깊이는 1시간에 약 0.219µm, 4시간에 약 0.437µm다. 이 계산도 실제 원소의 도핑·활성화 결과가 아닌 일정 D의 가상 예다.

표면 값이 유지되지 않으면 해도 달라진다

표면 공급이 부족하거나 공급 물질이 소모되면 Cₛ가 내려갈 수 있다. 표면을 통과하는 반응이 느리면 공급원 농도가 일정해도 실리콘의 표면 농도는 같게 유지되지 않는다. 이때는 고정 농도 대신 유속이나 반응 조건을 경계에 넣어야 한다.

수학적 모델은 t = 0에 표면 농도를 즉시 Cₛ로 올린다. 이 이상화에서는 최초 유속이 매우 커지는 특성이 있지만 실제 장비의 공급·표면 반응은 유한하다. 초기 과도 구간까지 같은 식이 정확하다고 생각해서는 안 된다. 고농도에서 D 자체가 변하거나 표면에서 석출이 일어나는 경우도 검토 대상이다.

실험에서는 처리 전후 프로파일을 시간별로 비교하는 것이 도움이 된다. 표면 값은 비슷하게 유지되면서 총량과 깊이 척도가 √t로 늘어나는지 확인할 수 있다. 다만 농도 분석으로 얻은 총 도펀트와 전기적으로 활성화된 농도는 다를 수 있으므로, 접합이나 저항을 예측할 때는 그 차이도 필요하다.

상수원 확산은 공급량이 일정하다는 뜻이 아니다. 필요한 양을 계속 보충해 표면 농도를 일정하게 잡는 조건이다. 그 조건이 유지될 때 시간은 표면의 높이보다 프로파일의 깊이와 총량을 바꾼다. 먼저 공급과 경계를 확인하면 어떤 확산 해를 써야 하는지도 정할 수 있다.