선폭 거칠기 상관이 바꾸는 폭과 중심선의 변동

좌우 경계가 모두 흔들리는데 선폭은 거의 일정한 선이 있다. 반대로 경계 각각의 흔들림은 같아도 폭이 크게 변하는 선도 있다. 선폭 거칠기 상관은 두 경계를 별도로 재는 데서 끝내지 않고, 같은 위치에서 함께 어떻게 움직이는지를 묻는다.

폭은 두 경계의 차이다

왼쪽 경계의 잔차를 δL(y), 오른쪽을 δR(y)라고 하자. 이상적인 폭 W0를 뺀 폭 변동은 δW = δR−δL이다. 좌표축을 두 경계 모두 동일한 방향으로 정한 정의다. 양쪽 표면의 바깥 방향을 각각 양수로 정하면 부호 해석이 바뀌므로 먼저 좌표를 일치시켜야 한다.

평균을 제거한 변동의 분산은 σW²=σR²+σL²−2Cov(δR,δL)이다. 상관계수 ρ를 쓰면 마지막 항은 2ρσRσL이다. NIST의 원문도 이 관계와 동상·역상 경계 예제를 제시한다. Villarrubia 등의 연구, PDF 5–6쪽 2.3절

같은 1nm가 세 가지 폭을 만든다

가상의 두 경계가 각각 RMS 1nm라고 정하자. ρ = +1이면 σW = 0이다. 두 경계가 같은 방향으로 같은 크기만큼 움직이므로 중심선은 흔들려도 폭은 변하지 않는다. 이 이상적인 관계는 단순히 표본 상관계수가 +1에 가깝게 관찰됐다는 주장보다 강한 조건이다.

ρ = 0에서는 σW = √2nm, 약 1.414nm다. ρ = −1이면 σW = 2nm다. 역상인 경우 오른쪽이 바깥으로 움직일 때 왼쪽은 반대쪽 바깥으로 움직여 폭의 변화가 합쳐진다. 각 경계의 RMS만 같은 세 공정을 선폭 변동까지 동일하다고 평가할 수 없다.

중심선 변동 δC = (δR+δL)/2의 분산도 계산해 보자. 각각 1nm인 같은 예에서 σC²=(1+ρ)/2nm²다. ρ가 +1, 0, −1일 때 중심선 RMS는 1nm, 약 0.707nm, 0이다. 폭의 변동이 줄었다고 모든 공간적인 오차가 줄었다고 볼 수 없는 이유다.

계측 잡음도 함께 움직일 수 있다

같은 y 위치에서 공통인 위치 오차 u(y)가 양쪽 경계에 똑같이 더해진다고 하자. 각 y에서 달라지는 공통 오차이며, 영상 전체의 일정한 평행이동은 평균 제거 때 사라진다. 이때 δW에서는 u가 상쇄되지만 δC에는 남는다. 참 경계가 서로 독립적이며 각각 분산 1nm²이고, u가 독립적으로 분산 0.25nm²를 가지면 측정한 각 경계의 분산은 1.25nm², 공분산은 0.25nm²다. 따라서 관찰 상관계수는 0.2가 된다.

이 예의 폭 분산은 여전히 2nm²다. 계산된 ρ = 0.2를 곧바로 공정이 경계를 함께 움직이게 했다는 증거로 쓰면 원인을 틀리게 읽는다. 공통 이동과 각 경계에 따로 생기는 검출 잡음을 구별하는 반복 측정이 필요하다.

유한 길이에서 얻은 상관계수 자체도 표본에 따라 변한다. NIST 원문은 평균적으로 상관이 작은 집단에도 개별 선에서 큰 상관 추정값이 나올 수 있음을 지적한다. 동일한 y 위치를 짝짓고, 좌우에 같은 배경 처리와 공간 주파수 범위를 적용한 뒤 여러 구간에서 관계가 유지되는지 확인해야 한다.

폭을 직접 계산해 확인한다

상관계수는 원인을 해석하는 데 유용하지만, 실제 폭의 목적량을 간접 계산으로만 남겨 둘 필요는 없다. 같은 이미지의 두 경계를 짝지어 W(y)를 만들고 그 분산을 직접 계산하면 폭의 정의와 처리 과정도 확인할 수 있다. 서로 다른 위치에서 얻은 경계 RMS를 가져와 차이의 분산을 계산하면 필요한 공분산이 빠진다.

선폭 거칠기 상관의 답은 경계가 얼마나 흔들렸는지와 어떻게 동행했는지를 함께 기록하는 것이다. 폭과 중심선의 변동을 나누어 확인하면, 한 지표가 좋아진 이유가 경계 자체의 개선인지 움직임의 상쇄인지까지 읽을 수 있다.