식별가능성이 부족하면 작은 피팅 잔차도 답이 아니다

피팅 잔차가 거의 0인데 치수 추정값은 설정에 따라 크게 바뀐다. 계산이 잘못됐을 수도 있지만, 관측 데이터가 애초에 그 치수들을 따로 구별하지 못할 수도 있다. 식별가능성은 서로 다른 파라미터가 서로 다른 관측을 만들어 내는지를 묻는다. 모델이 데이터를 잘 설명하는 것과 모델의 변수들이 각각 결정되는 것은 별개다.

반도체 산란 계측은 신호와 형상의 물리 모델을 역으로 풀어 치수를 얻는다. NIST 보고서는 재료의 광학 특성과 형상에 대한 사전 지식, 적절한 측벽 모델이 필요하며 여러 오차 항을 평가해야 한다고 설명한다. NISTIR 7426, 본문 41–42쪽 Scatterometry-Based Dimensional Metrology

정확한 데이터에도 답이 여러 개다

폭 d와 높이 h를 nm로 표현한 가상 선형 모델을 만들자. 첫 관측은 z₁ = d + 2h이고 관측값은 100nm다. (d, h) = (40, 30)과 (60, 20)은 모두 정확히 맞는다. 더 일반적으로 d = 100 − 2h를 만족하는 모든 가능한 형상이 같은 관측을 만든다.

두 번째 관측이 z₂ = 2d + 4h이고 값이 200nm라면 도움이 될까. 첫 식을 두 배 했을 뿐이라 새로운 조건은 없다. 변수 변화가 신호를 바꾸는 비율을 행렬로 쓰면 행은 (1, 2)와 (2, 4)다. 두 행이 같은 방향이므로 독립 정보의 수, 즉 행렬의 계수(rank)는 1이다. 미지수는 두 개인데 독립 조건은 하나다.

측정을 수없이 반복해 첫 관측의 잡음을 줄여도 이 선 위의 후보들을 분리하지 못한다. 알고리즘이 한 점을 내놓는다면 초기값이나 제약, 사전에 정한 값이 선택을 도왔는지 확인해야 한다. 예를 들어 h를 30nm로 고정하면 d는 40nm가 되지만, 그 높이를 데이터가 알아낸 것은 아니다.

구별은 가능해도 잡음에 취약할 수 있다

두 번째 조건을 z₂ = d + 2.01h로 바꾸자. 이제 두 식은 완전히 같지 않아 해를 하나로 정할 수 있다. 그러나 h = (z₂ − z₁)/0.01이다. 0.01이라는 작은 차이로 두 관측의 차를 나누므로 작은 측정 오차가 크게 증폭된다.

각 관측의 독립 잡음 표준편차를 0.1nm라고 정하면 차의 표준편차는 √2 × 0.1nm다. 따라서 h의 표준편차는 약 14.14nm다. d = (2.01z₁ − 2z₂)/0.01로 계산하면 폭의 표준편차도 약 28.36nm다. 수학적으로 유일한 해가 있다는 말만으로 실용적인 계측이 되지는 않는다는 예다.

두 번째 관측이 z₂ = d − h라면 상황이 달라진다. h = (z₁ − z₂)/3, d = (z₁ + 2z₂)/3이다. 같은 독립 잡음 조건에서 높이와 폭 표준편차는 각각 약 0.047nm와 0.075nm다. 두 변수의 효과를 더 잘 구별하는 관측을 추가해 잡음 증폭을 줄인 것이다. 수치는 자체 모델의 계산이며 실제 장비 성능을 나타내지 않는다.

현실의 비선형 모델에서는 특정 해 근처의 감도 행렬이 양호해도 멀리 떨어진 다른 해가 있을 수 있다. 서로 다른 시작점에서 찾은 해, 파라미터의 허용 범위, 추가 관측에 대한 예측을 함께 확인해야 한다. 물리 제약은 후보를 줄이는 유용한 정보지만 제약을 넣어 좁아진 범위를 측정 데이터의 성과로만 보고하면 안 된다.

식별가능성을 확인하는 목적은 피팅을 포기하는 데 있지 않다. 어떤 변수를 직접 알아냈고 어떤 변수는 가정에 기대고 있는지 드러내는 데 있다. 잔차와 함께 감도, 잡음 증폭, 대안 해를 살피면 필요한 추가 측정이 반복 횟수인지 다른 관측 조건인지 결정할 수 있다.