신호 bandwidth와 적분 잡음 bandwidth가 다른 이유
low-pass cutoff가 1 kHz이고 noise density가 10 nV/√Hz라면, RMS 잡음을 10×√1000 nV로 계산해도 될까. filter가 1 kHz에서 갑자기 모든 잡음을 끊는다면 맞다. 실제 한 개 pole의 filter는 그 위 주파수도 일부 통과시킨다. Equivalent Noise Bandwidth는 그 남은 잡음까지 면적으로 환산한다.
noise density는 RMS 전압을 √Hz로 나눈 amplitude spectral density다. 이를 제곱하면 V²/Hz 단위의 PSD가 된다. 서로 다른 주파수의 잡음 power를 filter의 전달 특성에 맞춰 적분한 뒤 제곱근을 취해야 total RMS 전압이 나온다. density 숫자와 cutoff를 바로 곱하는 것은 단위부터 맞지 않는다.
DC gain이 1인 가상 1차 low-pass를 놓자. cutoff fc에서 크기는 1/√2이고, 전달 함수의 크기 제곱은 |H(f)|² = 1/[1 + (f/fc)²]다. 입력은 one-sided PSD가 모든 주파수에서 n²인 이상적인 white noise다. 이 조건에서 출력 variance는 n²∫₀∞ |H(f)|²df다.
적분에 u=f/fc를 대입하면 fc∫₀∞ 1/(1+u²)du = (π/2)fc다. 따라서 equivalent noise bandwidth는 BN = (π/2)fc ≈ 1.571fc이고, RMS 출력은 n√BN이다. cutoff를 늘린 새 filter가 실제로 존재한다는 뜻은 아니다. 동일한 noise power를 전달하는 이상적 brick-wall filter의 폭이다.
Analog Devices MT-048 4–5쪽은 실제 filter의 유한한 rolloff 때문에 cutoff 밖 잡음이 들어오고, single-pole low-pass의 equivalent noise bandwidth가 약 1.57fc가 된다고 설명한다. 여러 pole이나 다른 shape에 같은 계수를 자동으로 붙이지는 않는다.
가상 값 n=10 nV/√Hz, fc=1 kHz를 넣으면 BN은 약 1570.80 Hz이고 RMS는 약 396.33 nV다. 1 kHz의 이상적 brick-wall로 잘못 계산하면 약 316.23 nV다. 실제 1차 모델의 RMS가 그 추정값보다 약 25.33% 크다. variance의 1.571배와 RMS의 1.253배는 구분해야 한다.
이 모델에서는 fc 아래 적분 면적이 (π/4)fc, fc 위 면적도 (π/4)fc다. cutoff 이상이 이미 감쇠된다고 해도 넓은 주파수 범위를 합치면 전체 variance의 절반을 차지한다. 특정 한 주파수의 감쇠와 모든 주파수의 적분 효과가 다르다는 예다. 실제 noise가 고주파에서 줄어드는 경우에는 이 비율이 달라진다.
앞단의 일정한 gain이 100이고 그 뒤에 이 filter가 있으며, gain block이 입력 noise를 100배 전달한다고 가정하면 density는 1 μV/√Hz가 된다. 출력 RMS는 약 39.63 μV다. 이 값은 ideal gain block과 외부 filter를 지정한 결과다. 실제 op amp에서는 signal gain과 noise gain, amplifier bandwidth가 달라질 수 있으므로 signal gain 하나만 total noise에 곱하지 않는다.
색깔 있는 잡음은 ENBW 하나로 모든 문제가 끝나지 않는다. 1/f 항, resistor noise, frequency-dependent noise gain을 포함하면 실제 PSD와 경로마다 ∫S(f)|H(f)|²df를 계산해야 한다. feedback 안에 capacitor를 넣었을 때 모든 noise source가 동일한 전달 함수를 갖는다고 가정하는 것도 피한다. 각 source에서 관찰 출력까지의 경로를 정한다.
filter 자체의 noise와 ADC 전에 놓인 전체 analog 응답도 평가에 포함한다. sampling 이후 digital filter가 out-of-band noise를 줄이더라도 이미 alias된 성분을 원래 대역으로 되돌려 제거하는 것은 아니다. 어느 단계에서 noise가 만들어지고 어느 filter를 통과하는지 확인해야 측정값과 계산이 맞는다.
Equivalent Noise Bandwidth를 사용하면 신호가 몇 Hz까지 통과하는가와 잡음 power가 얼마나 쌓이는가를 같은 숫자로 오해하지 않게 된다. white noise와 filter shape를 확인하고, 조건이 맞을 때 ENBW를 적용한다. 조건이 다르면 PSD 적분으로 돌아가면 된다.