애벌랜치 증배잡음은 이득이 커질 때 무엇을 더할까

광검출기에서 광전류를 열 배 키울 수 있다면 약한 빛도 열 배 쉽게 볼 수 있을까. 애벌랜치 광검출기는 강한 전기장 안에서 운반자가 추가 전자·정공 쌍을 만들어 신호를 증배한다. 하지만 모든 입사 광자에서 똑같이 열 배의 전하가 생기지는 않는다. 평균 이득 뒤에 숨은 분포가 애벌랜치 증배잡음의 출발점이다.

평균 열 배와 매번 열 배는 다르다

가속된 전자가 충분한 에너지를 얻어 충격 이온화를 일으키면 새 운반자가 생긴다. 그 운반자도 다시 이온화할 수 있다. 어디서 충돌했는지, 전자와 정공 중 어느 쪽이 증배 영역에 들어왔는지에 따라 한 번의 시작 사건이 만드는 최종 전하가 달라진다. 전하가 늘어나는 에너지는 바이어스 전원에서 공급된다.

이득 M은 이 분포의 평균이다. 사건마다 출력이 흔들리는 정도를 나타내는 초과잡음계수 F는 이상적인 결정적 증배라면 1이고, 증배 자체가 확률적으로 흔들리면 더 커진다. 광전류 I_L이 증배 전 전류일 때, 암전류를 제외한 출력 잡음 분산의 근사는 다음과 같다.

i_n² = 2qI_L B M²F

B는 잡음을 적분한 대역폭이다. M²은 원래의 광자 도착 변동도 증폭된다는 뜻이고, F는 증배 과정이 추가한 변동이다. 잡음의 실효값은 이 식의 제곱근이므로 F가 두 배면 실효잡음은 두 배가 아니라 √2배다. Hamamatsu, Si APD 기술 문서 2-3절, PDF 3쪽 식 2-2

전자와 정공의 이온화 차이가 중요하다

전자 이온화 계수를 α, 정공 이온화 계수를 β, 그 비를 k=β/α라고 하자. 전자를 주입하는 고전적인 국소 이온화 모델에서는 다음 식을 쓴다.

F = kM + (2−1/M)(1−k)

M=10일 때 k=0.02이면 F≈2.062다. k=0.5이면 F≈5.95다. 두 검출기의 평균 출력 전류는 같아도 이 모델에서 후자의 증배 잡음 실효값은 약 1.70배다. 평균 이득을 맞춰 놓고 비교해도 이온화 비율과 주입 방식이 성능을 바꾸는 이유다. 정공을 주입하는 경우에는 같은 식에 k를 그대로 넣지 않는다. 기술 문서는 1/k로 바꾸어 적용하는 구분도 명시한다. Hamamatsu Si APD 문서, PDF 3–4쪽 식 2-3과 파장 의존성 설명

이득이 유리한 구간은 읽기 회로가 정한다

가상 검출기의 증배 전 광전류를 1nA, 대역폭을 10MHz라고 하자. 이득이 없는 검출기의 광전류 산탄잡음은 약 0.0566nA RMS다. M=10, F=2.062인 애벌랜치 검출기에서는 신호가 10nA이고 산탄잡음은 약 0.813nA RMS가 된다. 신호가 열 배 커질 때 해당 잡음은 약 14.4배 커진다.

여기에 출력 기준으로 1nA RMS인 읽기 회로 잡음이 있고 이 잡음은 M에 따라 변하지 않는다고 가정하자. 두 잡음이 독립이면 제곱을 더한다. 이득이 없는 경우 총잡음은 약 1.002nA, M=10에서는 약 1.289nA다. 신호를 실효잡음으로 나눈 비는 약 1.00에서 7.76으로 좋아진다. 애벌랜치 검출기는 증배가 잡음을 추가하는데도, 이미 큰 읽기 회로 잡음을 넘어서는 신호를 만들 수 있다.

반대로 광전류 산탄잡음이 처음부터 지배하면 신호와 잡음에 공통으로 들어가는 M이 비율에서 소거된다. 남는 것은 F에 따른 불리함이다. 그래서 이득을 계속 높이는 것이 최적은 아니다. 기술 문서의 신호대잡음 식도 증배된 산탄잡음과 증배되지 않는 열잡음을 같이 놓고 최적 이득을 찾는다. Hamamatsu Si APD 문서, PDF 4쪽 식 2-4와 그림 2-5

실제 계산에서는 증배되는 벌크 암전류와 증배되지 않는 표면 암전류를 구별해야 한다. k와 F도 재료, 구조, 입사 파장과 주입 조건에 따라 달라진다. 위 식은 선형 증배 동작의 모델이며, 항복 이후 개별 펄스를 세는 동작을 그대로 설명하지 않는다.

애벌랜치 증배잡음은 큰 이득의 부수적인 숫자가 아니라 검출 한계를 정하는 항이다. 약한 빛을 더 잘 보려면 먼저 현재 한계가 광자 도착의 변동인지 읽기 회로의 잡음인지 확인해야 한다. 그 답을 얻은 뒤에야, 같은 평균 이득을 내는 두 검출기 중 어느 쪽이 더 작은 신호를 구별할지 판단할 수 있다.