에이링 모델의 교호작용이 두 배와 세 배를 열두 배로 만든다

온도를 높이면 열화가 두 배, 전압을 높이면 세 배라면 둘을 함께 높였을 때는 여섯 배일까? 두 스트레스의 효과가 서로 독립적으로 곱해질 때에는 그렇다. 그러나 높은 온도에서 전압의 효과 자체가 달라질 수 있다. 에이링 모델은 온도와 다른 스트레스를 함께 다루면서 이런 교호작용을 표현할 수 있는 가속 모델이다.

온도 효과에 다른 스트레스의 조건이 들어간다

NIST가 제시하는 에이링 수명식에는 온도 항뿐 아니라 (B+C/T)S 형태의 항이 들어간다. S는 해당 과정에 맞게 선택한 스트레스 변수다. C/T가 남으면 같은 S의 변화가 온도에 따라 다른 효과를 낸다. 온도와 다른 스트레스의 가속비를 각각 구해 단순히 곱하는 방식으로는 이 항을 보존하지 못한다. NIST 에이링 모델과 교호작용

원문은 가장 일반적인 식을 그대로 쓰기보다 고장 메커니즘에 맞춰 단순화해야 한다고 설명한다. 전압을 그대로 쓸지 로그 전압을 쓸지도 일반식 하나가 자동으로 결정하지 않는다. 설명할 현상과 실험 범위가 변수 선택의 근거가 된다.

네 실험 조건이 단순 곱의 한계를 보여 준다

가상 모델에서 기준 온도를 350K, 높은 온도를 400K로 두자. 역온도의 변화를 정규화해 x = (1/350K−1/T)/(1/350K−1/400K)로 적으면 두 조건에서 x는 0과 1이다. 전압 변수도 s = (V−1V)/0.2V로 정한다. 1V와 1.2V에서 s는 0과 1이다.

온도 앞의 거듭제곱 항을 생략한 에이링 형태의 가상 속도를 다음처럼 두자.

ln(r/r₀) = a x + b s + c x s

a = ln 2, b = ln 3, c = ln 2로 지정한다. 실제 소자의 계수나 허용 온도·전압을 뜻하는 값은 아니다. 같은 임계 손상량과 시간에 대해 일정한 속도를 가정하는 예다.

온도만 바꾼 두 배와 전압만 바꾼 세 배를 곱하면 여섯 배다. 실제로 지정한 모델의 공동 조건은 교호작용 exp(c) = 2가 추가돼 열두 배다. 일정 임계량에 도달하는 시간의 비는 이 속도 비의 역수가 된다.

공동 조건을 빼면 교호작용을 볼 수 없다

가상 네 점에서 ln 12−ln 2−ln 3+ln 1은 ln 2다. 기준과 각각의 단독 변화, 공동 변화를 비교한 로그 차이로 교호작용을 분리한 것이다. 기준 조건과 공동 조건만 관측했다면 a+b+c만 알 수 있고 세 계수를 따로 구분할 수 없다.

네 조건에 평균값을 하나씩 얻었다고 모델이 충분히 검증되는 것도 아니다. 절편까지 포함한 네 계수의 식을 네 값에 정확히 맞출 수 있다. 이 경우 적합 후의 오차만으로 모델의 예측성을 평가하기 어렵다. 반복 시험으로 변동을 보고, 다른 온도나 전압 조건에서도 같은 식이 맞는지 확인할 필요가 있다.

실험 범위가 좁거나 온도와 전압을 항상 함께 올렸다면 각 항이 비슷한 변화를 설명할 수 있다. 계수의 수가 많다는 사실이 더 깊은 물리 설명을 보장하지는 않는다. 필요한 교호작용을 구별할 시험 조건과 데이터가 있어야 한다.

에이링 모델을 적용할 때에는 먼저 사용한 스트레스 변수와 단순화한 항을 적고, 왜 그 조합을 선택했는지 설명한다. 단독 가속비의 곱을 사용할지 공동 조건의 모델을 사용할지는 실험으로 판단한다. 온도와 전압을 같이 높인 시험을 제대로 해석하려면 각각의 효과뿐 아니라 둘이 만났을 때 바뀐 효과도 물어야 한다.