연속방정식으로 캐리어의 행방을 추적하기
반도체의 전류가 흐른다는 것은 캐리어가 이동한다는 뜻이다. 그런데 어떤 위치의 캐리어 농도는 시간이 지나도 그대로일 수 있다. 반대로 같은 두 단자의 전류처럼 보여도 내부에서는 캐리어가 쌓일 수 있다. 이 차이를 계산하는 도구가 연속방정식이다. 미분식으로 외우기보다 작은 부피에 들어오고 나가는 캐리어를 세면 의미가 훨씬 분명해진다.
캐리어 연속방정식은 이동, 생성, 재결합을 포함한 입자 수의 보존 관계다. 전자가 없어지지 않는다는 말만으로는 부족하다. 반도체에서는 밴드 사이 천이로 자유전자와 정공이 생성되거나 재결합할 수 있기 때문에, 각 캐리어의 수지는 이동 외의 항도 포함한다.
작은 상자의 입자 수부터 센다
반도체 안에 작은 가상 부피를 잡자. 일정 시간 동안 들어온 전자 수에서 나간 전자 수를 빼고, 내부에서 생성된 자유전자를 더하고, 재결합한 전자를 빼면 내부 전자 수의 변화가 된다. 상자가 작아져도 같은 수지가 성립하며, 그 극한이 국소적인 미분식이다.
전자 농도를 n, 전자 입자 유속을 Fn이라고 쓰면 ∂n/∂t=−∇·Fn+G−R이다. ∇·Fn은 작은 부피에서 순수하게 밖으로 나가는 유속을 나타낸다. G와 R은 단위 부피·단위 시간당 생성과 재결합이다. 농도가 cm⁻³이면 G와 R은 cm⁻³·s⁻¹, 입자 유속은 cm⁻²·s⁻¹다.
관습적인 전류는 음전하 전자의 입자 흐름과 반대이므로 Jn=−qFn이다. 이를 이용하면 전자의 1차원 식은 ∂n/∂t=(1/q)×∂Jn/∂x+G−R이 된다. 정공은 양전하라 같은 전류 기울기 항의 부호가 반대다. 부호를 기억으로 붙이기보다 입자의 부호에서 출발하면 실수가 줄어든다.
MIT의 캐리어 흐름 강의와 수송 방정식 강의는 전류·농도·생성·재결합의 관계를 정리한다. 전류식이 어떻게 움직이는지 설명한다면, 연속방정식은 그 움직임의 결과로 캐리어가 어디에 얼마나 남는지 설명한다.
전류의 부호보다 입자 수로 검산해 보기
한 변이 1µm인 가상 부피를 생각하자. 1µm는 10⁻⁴cm이므로 부피는 10⁻¹²cm³다. 초기 전자 농도가 1×10¹⁵cm⁻³이면 그 안에 전자는 평균적으로 1000개 있다. 실제로 이 작은 부피의 수는 흔들릴 수 있지만 여기서는 연속적인 평균 수지를 계산한다.
입자가 들어오는 속도는 초당 2×10⁹개, 나가는 속도는 1×10⁹개라고 놓자. 내부 생성은 3×10⁹개/s, 재결합은 1×10⁹개/s다. 순변화는 2−1+3−1, 즉 3×10⁹개/s다. 이 속도들이 10ns 동안 일정하다면 전자는 30개 늘어난다.
농도 증가량은 30/10⁻¹²cm³, 즉 3×10¹³cm⁻³다. 초기 농도의 3%다. 부피와 시간을 맞추어 세면 거창한 미분식 없이도 축적의 크기를 검산할 수 있다. 이 예시는 실제 소자의 입출력값을 인용한 것이 아니라 수지의 단위를 확인하기 위한 가정이다.
같은 상자에서 재결합을 4×10⁹개/s로 늘리면 순변화는 0이다. 들어오는 전자가 나가는 전자보다 많아도, 내부의 추가 생성까지 더한 양이 재결합과 같아져 농도가 유지된다. 이때 확산이나 재결합이 없다는 뜻은 아니다. 일어나는 과정들이 균형을 이룬다.
그래서 정상상태의 조건 ∂n/∂t=0을 보고 전류 기울기나 G−R까지 각각 0으로 놓으면 안 된다. 어떤 상황에서는 전류가 위치에 따라 변하는 만큼 재결합이 일어난다. 수지가 0인 것과 수지 항들이 모두 0인 것은 다르다.
재결합으로 전자 전류가 줄어도 전체 전하는 맞는다
다이오드의 중성 영역에서 주입된 소수캐리어는 이동하며 재결합한다. 따라서 한 종류의 캐리어 전류는 위치에 따라 달라질 수 있다. 재결합이 일어났다고 외부 회로의 전류가 중간에서 그냥 사라지는 것은 아니다. 다른 캐리어의 흐름과 전하 수지를 함께 고려해야 한다.
전자와 정공이 쌍으로 재결합하면 음전하와 양전하가 같은 수만큼 자유캐리어 상태에서 없어지므로 순전하 생성 항은 상쇄된다. 두 연속방정식을 전하로 합하면 총전하의 보존 관계가 나온다. 시간에 따라 전하 축적이 없고 같은 단면의 1차원 전도 흐름이라면 총전류의 공간 변화는 0인 형태로 정리된다.
과도 상태에는 이야기가 추가된다. 전하가 쌓이고 전기장이 변하면 전도전류만이 아니라 전기장 변화에 대응하는 변위전류도 회로의 전류 연속성과 연결된다. 아주 빠른 파형을 읽으면서 정상상태의 “총전도전류가 어디서나 같다”는 근사를 그대로 쓰지 말아야 한다.
이 구분은 시뮬레이션 결과를 읽을 때도 도움이 된다. 전자 전류만 감소하는 그래프를 보고 보존법칙이 깨졌다고 단정하기 전에 정공 전류, 재결합, 전하 축적을 함께 확인해야 한다. 반대로 누락된 생성 항 때문에 수지가 맞지 않으면 농도 결과가 그럴듯해도 모델을 신뢰하기 어렵다.
방정식만 있고 경계가 없으면 답도 없다
연속방정식은 내부 수지를 설명하지만, 캐리어가 경계에서 얼마나 공급되거나 사라지는지까지 스스로 정하지는 않는다. 접촉이 농도를 일정하게 유지하는지, 입자 유속을 고정하는지, 표면에서 재결합하는지에 따라 해가 달라진다.
예를 들어 한쪽 끝의 과잉농도를 일정하게 잡은 시료와 주입 전류를 일정하게 잡은 시료는 같은 방정식을 쓰면서도 다른 프로파일을 갖는다. 재결합이 강해질 때 전자는 더 많이 공급될 수도 있고 경계 농도가 낮아질 수도 있다. 어떤 입력을 고정했는지가 답의 일부다.
생성도 공간과 시간에 따라 달라질 수 있다. 광흡수가 표면 가까이에 집중되면 G를 균일 상수로 놓는 것과 농도 분포가 다르다. 빛을 끈 뒤의 감쇠에서는 G가 사라지는 시각과 잔류 확산이 함께 들어간다. 캐리어 수명 하나만으로 모든 과도 파형을 설명하기 어려운 이유다.
계산을 시작할 때 상자 그림에 공급, 배출, 생성, 재결합을 써 보면 필요한 조건이 드러난다. 각 항의 단위를 맞추고 정상상태인지 확인한 뒤, 전류의 입자 부호를 적용하면 된다. 수치 시뮬레이션에서도 경계 유속과 부피 안의 생성·재결합을 적분하여 전체 수지가 맞는지 검산할 수 있다.
처음의 의문은 흐름과 축적을 분리하면 풀린다. 캐리어가 계속 움직여도 들어오는 양과 사라지는 양이 맞으면 농도는 일정하다. 연속방정식은 변화가 없다는 결과 뒤에서 어떤 과정들이 균형을 이루는지 추적하는 도구다. 이 수지부터 맞추면 전류 그래프와 농도 그래프를 같은 물리적 이야기로 읽을 수 있다.