원자유속 발산은 많이 흐르는 곳과 비는 곳을 구별한다

금속 원자가 전류의 영향을 받아 이동한다면 배선 전체가 동시에 비어야 할까? 실제로는 특정 비아 근처나 계면에서 고갈이 집중될 수 있다. 이동량이 큰 것과 한 지점에서 물질이 사라지는 것은 다른 문제이기 때문이다. 원자유속 발산은 작은 영역에서 나가는 원자가 들어오는 원자보다 많은지를 나타내는 국소 수지다.

빠른 이동보다 유입과 유출의 차이가 중요하다

짧은 배선 구간을 상자로 둘러싸 보자. 왼쪽으로 들어오는 원자가 초당 1500개이고 오른쪽으로 나가는 원자도 초당 1500개라면, 흐름은 있지만 상자 안의 원자 수는 그대로다. 반면 유입이 초당 1000개, 유출이 1500개라면 매초 500개씩 줄어든다. 두 경우 모두 출구의 이동량은 같지만 고갈 여부는 다르다.

원자를 내부에서 만들거나 없애는 항이 없는 고정된 영역에서 이 보존 법칙은 다음처럼 쓴다.

∂c/∂t = −∇·J원자

c는 단위 부피의 원자 수, J원자는 단위 면적을 단위 시간에 통과하는 원자 수를 나타내는 벡터다. 발산이 양수면 밖으로 빠져나가는 순량이 양수이므로 농도가 감소한다. 음수면 축적한다. 원자유속과 전류밀도는 단위부터 다르며, 전류밀도가 높다는 사실만으로 발산의 부호가 결정되지는 않는다. Ceric과 Selberherr의 원문도 원자유속 발산의 양수 영역을 고갈 위치와 연결하면서 여러 확산 경로와 구동력을 함께 고려한다. 원문 본문 82쪽 5.1절

국소 수지를 계산하면 고갈의 초기 속도가 보인다

처음에 원자 100만 개가 들어 있는 가상 영역을 두자. 내부 원자 생성 없이 유입 1000개/s, 유출 1500개/s가 10초 동안 일정하다고 정하면, 원자는 5000개 줄어 99만 5000개가 된다. 초기 수의 0.5%가 빠져나간 셈이다. 이는 보존식의 짧은 시간 계산이며 실제 배선의 원자 이동률을 옮긴 예가 아니다.

여기서 초당 개수는 각 면을 통과하는 유속을 면적에 대해 적분한 값이다. 단면적이 변하는 배선이라면 같은 유속 밀도에도 초당 통과량이 달라진다. 1차원 수지를 쓸 때 A(x)J(x)의 변화를 확인해야 하는 이유다. 서로 다른 단면의 J만 빼면서 면적을 생략하면 고갈량을 잘못 계산할 수 있다.

비아, 결정립계 연결부, 확산을 차단하는 계면은 유입과 유출을 다르게 만들 수 있는 후보 위치다. 온도가 바뀌어 확산 속도가 달라지거나, 응력 기울기가 이동을 되돌려도 수지가 변한다. 그래서 평균 전류밀도가 낮다는 하나의 숫자만으로 국소 고갈을 배제할 수 없다.

양의 발산을 곧바로 단선 시간으로 바꾸지는 말자

100만 개에서 매초 500개가 줄었다고 해서 2000초 뒤 배선이 반드시 사라진다는 결론은 나오지 않는다. 앞의 계산은 유속이 일정하다는 가정을 짧은 시간에 적용한 것이다. 물질이 재배치되면 응력이 변하고, 결함이나 빈 공간이 생기면 단면과 전류 분포도 변한다. 처음의 유입·유출 값이 그대로 유지될 근거가 없어진다.

또한 원자 수의 감소와 관찰 가능한 빈 공간 사이에는 결함의 생성·소멸, 계면의 상태, 기계적 변형이 개입한다. 원자 이동과 반대 방향의 공공 이동을 같은 부호로 해석해서도 안 된다. 원자유속 발산은 고갈을 찾는 보존량이지, 그 자체로 모든 고장 단계를 완성하는 수명식은 아니다.

고갈 위치를 판단하려면 각 경로의 이동량이 어디서 끊기거나 달라지는지 추적해야 한다. 전류가 많이 흐르는 곳을 찾는 데서 한 걸음 더 나아가, 그곳에 들어오는 물질이 나가는 물질을 보충하는지를 보는 것이다. 이 질문이 국소 손상의 위치를 설명한다.