웨이퍼 공간상관으로 구별하는 같은 평균과 산포

두 웨이퍼의 평균 두께가 같고 산포도 같다면 같은 공정 상태라고 볼 수 있을까. 숫자를 위치에서 떼어 내면 그렇게 보일 수 있다. 그러나 두꺼운 곳이 한쪽에 모이는 웨이퍼와 두꺼운 곳과 얇은 곳이 번갈아 나타나는 웨이퍼는 다른 후속 조사를 요구한다. 웨이퍼 공간상관은 값의 크기에 더해 이웃한 위치들이 어떻게 함께 변하는지를 본다.

평균과 히스토그램이 똑같은 두 지도

원형 웨이퍼 전체가 아니라 그 안의 4×4 직사각형 검사 영역을 가상으로 만들자. 숫자는 영역 평균으로부터의 두께 편차이며 단위는 nm다. 지도 A는 네 행 모두 다음과 같다.

+1  +1  -1  -1
+1  +1  -1  -1
+1  +1  -1  -1
+1  +1  -1  -1

지도 B는 부호가 번갈아 나온다.

+1  -1  +1  -1
-1  +1  -1  +1
+1  -1  +1  -1
-1  +1  -1  +1

둘 다 +1이 8개, −1이 8개다. 평균 편차는 0이고 전체 16점을 모집단으로 계산한 RMS 편차는 1nm다. 히스토그램을 아무리 자세히 그려도 두 지도를 구별할 수 없다. 차이는 숫자의 배치에만 있다.

여기서는 이해를 위해 ‘상하좌우로 바로 붙은 두 점의 편차를 곱한 뒤 평균하는 값’을 직접 정의하자. 모서리를 이어 붙이지 않으면 가로 이웃 12쌍, 세로 이웃 12쌍으로 총 24쌍이다. 이는 별도로 정의한 이웃 곱 통계이며 표준 Moran 지수를 계산한 것은 아니다.

A에서는 세로 12쌍의 곱이 모두 +1이고 가로 곱의 합은 +4다. 평균은 16/24 = 2/3nm²다. B에서는 모든 이웃의 부호가 반대라 평균이 −1nm²다. A의 이웃은 같은 방향으로 움직이는 경향이 있고, B의 이웃은 반대 방향으로 움직인다. 평균과 RMS가 삭제한 정보가 이웃 관계에서 다시 나타난다.

공간 패턴은 원인의 이름표가 아니다

Ezzat 등의 원 논문은 양품과 불량을 표시한 웨이퍼 맵에서 인접한 칩의 공간 의존성을 활용해 혼합 결함 패턴을 분리한다. 위치 관계가 진단에 유용하다는 사례다. 논문의 이진 불량 지도와 위의 연속적인 두께 편차 지도는 데이터 종류가 다르며, 위 계산을 저자들의 알고리즘으로 제시한 것도 아니다. 원 논문, PDF 1–2쪽 Abstract·Introduction

A와 같은 넓은 영역 차이를 발견하면 영역별 공정 조건을 비교할 이유가 생긴다. B와 같은 교대 패턴에서는 반복 단위나 검사 위치의 선택을 살펴볼 수 있다. 하지만 지도 한 장으로 장비나 공정 원인을 확정할 수는 없다. 위치와 측정 시간이 함께 변하면 시간에 따른 장비 드리프트가 공간 변화처럼 보일 수 있기 때문이다.

예를 들어 왼쪽 영역을 먼저 재고 오른쪽을 나중에 잰 동안 장비 기준점이 바뀌면, 실제 두께가 균일해도 A와 비슷한 지도가 만들어질 수 있다. 측정 순서를 뒤집어 반복하고 기준 시료를 중간에 넣으면 두 설명을 비교할 단서가 늘어난다. 분석에는 웨이퍼 좌표뿐 아니라 측정 시각과 순서, 장비 및 공정 이력이 필요하다. 좌표를 회전시켰다면 어느 좌표계로 되돌린 결과인지도 맞춰야 한다.

웨이퍼 공간상관이 주는 이득은 숨은 원인을 단번에 맞히는 능력이 아니다. 같은 산포로 묶였던 상태를 서로 다른 조사 대상으로 나누는 능력이다. 지도를 보존하고 이웃 관계를 계산한 뒤 공정 이력과 측정 순서를 대조하면, 평균만 보고 지나쳤을 변동을 검증 가능한 가설로 바꿀 수 있다.