제한원 확산은 깊어져도 끝없이 접합을 밀지 않는다

도펀트를 더 넣지 않았는데 열처리 뒤 접합이 더 깊어졌다. 원자 수가 늘지 않아도 분포가 넓어지면 이런 결과가 가능하다. 제한원 확산은 일정한 총량을 더 깊은 영역에 재분배하는 과정이다. 깊어지는 대신 표면의 최고 농도는 낮아지는 것이 기본적인 모습이다.

총 도즈 Q는 깊이 방향 농도의 면적 적분이며 단위는 cm⁻²다. 표면에 가깝고 매우 얇은 초기 도핑 층을 두고, 표면에서 도펀트가 빠져나가지 않는 반무한 실리콘을 생각하자. D가 일정하고 초기 폭이 최종 폭보다 충분히 작다면 제한원 확산의 농도는 다음 가우스형으로 근사할 수 있다.

C(x,t) = Q/√(πDt) × exp[−x²/(4Dt)], x ≥ 0

MIT 원문 강의록 PDF 11쪽은 표면 손실이 없는 경계와 얇은 초기 층의 가정을 통해 이 해를 설명한다.

넓어지면 높이는 낮아진다

위 식을 0부터 무한대까지 적분하면 항상 Q가 된다. 가우스형이 넓어지는 만큼 앞의 계수가 낮아져 면적이 보존된다. 표면 농도는 Q/√(πDt), 폭의 척도는 2√Dt다. 같은 온도에서 시간을 네 배 늘리면 폭은 두 배, 표면 농도는 절반이 된다.

가상의 Q = 10¹³cm⁻², D = 10⁻¹⁴cm²/s로 계산해 보자. 1시간 뒤 표면 농도는 약 9.40×10¹⁷cm⁻³, 폭 척도는 0.12µm다. 4시간 뒤에는 약 4.70×10¹⁷cm⁻³, 폭 척도는 0.24µm다. 두 프로파일의 높이는 달라도 적분한 총량은 둘 다 10¹³cm⁻²다. 이 숫자는 실제 도펀트의 측정값이 아닌 일정 D의 예다.

동일한 원자 수가 더 넓은 공간을 차지하면 국소 농도가 떨어진다는 설명은 단순하다. 그러나 접합 깊이는 폭만으로 결정되지 않는다. 반대 타입의 배경 농도와 만나는 지점도 함께 봐야 한다.

접합은 계속 깊어지기만 할까

균일한 활성 배경 농도를 N_B라고 하고 관심 도펀트가 모두 활성화되었다고 놓자. 표면 농도 C₀가 N_B보다 클 때 C(xⱼ,t) = N_B를 풀면 다음 관계를 얻는다.

xⱼ = 2√[Dt ln(C₀/N_B)]

앞의 예에서 N_B = 10¹⁶cm⁻³이면 접합 깊이는 1시간에 약 0.256µm, 4시간에 약 0.471µm다. 폭 척도는 두 배가 되었지만 접합 깊이는 약 1.84배다. 표면 농도가 절반으로 떨어져 로그항이 작아졌기 때문이다.

더 오래 확산해도 접합이 끝없이 깊어지는 것은 아니다. Dt를 u로 쓰면 xⱼ² = 4u ln[Q/(N_B√πu)]다. 이 식을 u로 미분하면 4[ln(C₀/N_B) − 1/2]가 된다. 따라서 이 이상적인 모델에서도 C₀/N_B가 √e, 약 1.65까지 내려오면 깊이가 최대가 되고, 그 아래에서는 다시 얕아진다. C₀가 N_B 이하가 되면 정의한 반대 타입 영역 자체가 남지 않는다.

초기에는 넓어지는 효과가 크지만, 나중에는 희석되어 배경 농도를 이길 수 있는 영역이 줄어든다. ‘확산하면 접합이 깊어진다’는 말에는 적용하는 시간과 농도 범위가 들어 있어야 한다.

보존한 총량이 무엇인지 확인한다

실제 공정에서 표면 증발이나 산화막 쪽 분배가 있으면 실리콘 안의 Q가 보존되지 않을 수 있다. 외부 공급이 남아 있으면 반대로 총량이 증가한다. 이때 같은 가우스 해에 처리 시간만 더하면 경계의 물질 수지를 놓친다.

초기 도핑 층의 폭도 무시할 수 없으면 실제 초기 프로파일을 반영해야 한다. 가우스형 초기 층이라면 분산을 더하는 방식이 가능하지만, 임의의 층이 즉시 위 식과 같아지는 것은 아니다. 고농도에서의 농도 의존 확산과 활성화·복합체 형성도 전기적 접합 예측을 바꿀 수 있다.

제한원 확산의 특징은 원자 수를 유지하며 분포를 넓힌다는 데 있다. 면적 적분, 표면 농도와 폭을 함께 확인하면 모델이 성립하는지 판단할 수 있다. 접합 깊이는 그다음에 배경 농도와의 교점으로 계산해야 한다. 총량 보존과 접합의 단조로운 이동은 같은 명제가 아니다.