차동 증폭기의 precision은 저항값보다 비율 맞춤이 좌우한다
센서가 만드는 2 mV의 차이를 읽으려고 정밀 op amp를 골랐다. 두 입력에는 공통으로 2 V가 걸리는데, 출력 오차가 예상보다 크다. Resistor Ratio CMRR를 보면 IC의 좋은 common-mode rejection이 네 개의 외부 저항 때문에 회로에서 유지되지 않을 수 있음을 알 수 있다.
여기서는 네 저항으로 만든 단순 difference amplifier를 다룬다. V1은 R1을 통해 반전 입력으로 들어가고 R2가 output에서 feedback한다. V2는 R3을 통해 비반전 입력으로 들어가며 R4는 그 node를 0 V에 연결한다. op amp는 이상적이고 두 source의 impedance는 0이라고 가정한다.
a=R2/R1, b=R4/R3라 두면 비반전 입력은 bV2/(1+b)다. 반전 입력의 KCL을 통해 Vout=(1+a)bV2/(1+b)−aV1을 얻는다. a와 b가 같을 때만 이 식은 a(V2−V1)이 된다. 각 저항의 숫자보다 두 ratio의 일치가 common-mode 제거를 결정한다.
Analog Devices MT-068 1–2쪽은 이 difference amplifier의 CMR이 주로 resistor ratio matching에 의해 정해진다고 설명한다. source impedance 불균형과 resistor의 temperature tracking도 조건에 포함된다. 이 단순 회로를 높은 입력 impedance의 instrumentation amplifier와 동일하게 취급하지 않는다.
가상 회로에서 R1=R2=R3=10 kΩ, R4=10.01 kΩ라고 하자. a=1, b=1.001이다. V1=Vcm−Vd/2, V2=Vcm+Vd/2로 쓰면 common-mode gain은 (b−a)/(1+b) ≈ 0.00049975, differential gain은 약 1.00024988이다.
Vcm=2 V, Vd=2 mV에서 differential 성분은 약 2.0005 mV인데 common-mode 성분이 약 0.9995 mV 추가된다. 전체 output은 약 3.0000 mV다. offset이 0인 이상적 op amp에도 큰 오차가 남는다. 실제 부품의 offset을 더 작게 만드는 것으로 이 저항 오차를 없앨 수 없다.
CMRR를 두 gain의 비로 정의하면 이 예는 20log10(|Ad/Acm|) ≈ 66.03 dB다. common-mode가 만든 output error를 실제 Ad로 나눈 입력 환산 오차도 약 0.99925 mV다. output error와 input 환산 error를 같은 이름으로 계산하지 않고 기준을 기록한다.
Vcm=2 V에서 허용 입력 환산 오차가 20 μV라면 필요한 gain 비는 최소 100,000, 즉 100 dB다. 같은 a=1 구조에서 b만 조금 어긋나는 모델은 ratio mismatch를 약 20 ppm 이하로 요구한다. 이것은 특정 한 ratio가 변하는 계산이며, 개별 resistor tolerance 20 ppm이면 전체 오차도 자동으로 그 이하라는 뜻은 아니다.
네 저항이 모두 정확히 5% 커져도 두 ratio가 1로 유지되면 이 이상적 모델의 common-mode gain은 0이다. 반면 네 개의 1% 부품을 쓴다는 말만으로 ratio matching 0.1%를 보장할 수는 없다. MT-068은 네 independent tolerance가 쌓이는 worst case와 network의 net matching 정격을 따로 다룬다.
온도에서도 같은 기준을 적용한다. 가상 ratio b가 a에 비해 5 ppm/°C 변하고 60°C 차이가 생기면 mismatch는 300 ppm이다. 위 모델에서 Vcm=2 V의 output common-mode error는 약 300 μV다. 이는 지정한 ratio drift의 결과이며 어떤 network의 실제 tempco가 아니다. absolute tempco와 ratio tracking을 구분해 읽어야 한다.
실제 회로에는 유한한 op amp CMRR, source 저항과 parasitic capacitance, 입력·출력 동작 범위도 남는다. ratio 정격은 그중 resistor가 만드는 오차의 bound를 제공한다. Resistor Ratio CMRR를 Vcm 범위와 허용 입력 오차에 연결하면, 저항의 정밀도와 온도 tracking에 얼마를 요구해야 하는지 구체적으로 결정할 수 있다.