캐리어 이동도의 온도 곡선은 왜 꺾일까

반도체의 온도를 낮추면 이동도가 좋아진다는 설명은 자주 맞지만 항상 맞지는 않는다. 어떤 시료에서는 온도를 내리다 이동도가 최대를 지나 다시 작아진다. 격자는 덜 흔들리는데 무엇이 전자의 이동을 방해하는 것일까. 캐리어 이동도의 온도 곡선은 서로 다른 산란이 경쟁한 결과를 보여 준다.

이동도는 낮은 전기장에서 캐리어의 평균 이동 속도가 전기장에 얼마나 비례하는지를 나타내는 계수다. 전자를 많이 공급했는지와는 다른 물리량이다. 여기서는 균일한 벌크에서 충분히 낮은 전계의 이동도를 생각하며, 고전계의 속도 포화나 접촉 저항은 계산 범위에서 제외한다.

열운동이 큰 것과 이동도가 큰 것은 다르다

온도가 올라가면 전자의 무작위 열운동도 커진다. 그렇다고 전기장 방향의 평균 이동이 커지는 것은 아니다. 서로 다른 방향의 열운동은 평균에서 대부분 상쇄되고, 외부 전기장이 분포를 조금 치우치게 만들 때 전류가 나타난다. 이동도는 그 치우침에 대한 반응을 나타낸다.

단순한 포물선 밴드 모델에서는 μ=qτ/m로 나타낼 수 있다. τ는 운동량이 완화되는 시간이고 m는 전도 유효질량이다. 자주 산란되어 운동량을 잃으면 같은 전기장에서 평균 이동 반응이 작아진다. 온도에 따라 이동도가 달라지는 중요한 이유는 어떤 산란이 얼마나 자주 일어나는지 변하기 때문이다.

MIT의 캐리어 동역학 강의는 열운동, 평균 이동, 여러 산란 경로를 구분한다. 이 구분이 있으면 “전자가 더 빨리 움직이는데 이동도는 왜 낮아지는가”라는 질문을 풀 수 있다. 개별 속도의 크기와 한 방향으로 생기는 평균 속도는 다르다.

격자 진동에 의한 산란은 온도가 높아질 때 중요해질 수 있다. 격자는 완벽히 정지한 주기 구조가 아니며 원자들이 진동한다. 캐리어는 이 변화와 에너지를 교환하면서 운동량도 바꾼다. 반대로 낮은 온도에서는 격자 산란이 줄어 다른 경로의 상대적 비중이 커진다.

그중 하나가 이온화 불순물 산란이다. 캐리어는 도펀트 이온 주변의 전기적 퍼텐셜과 상호작용한다. 온도가 낮아 캐리어의 에너지가 작아지면 그 영향이 달라지고, 차폐와 이온화 상태도 함께 바뀔 수 있다. 그래서 격자 산란이 줄어드는 방향과 전체 이동도가 변하는 방향이 항상 같지는 않다.

두 개의 제한을 합치면 최대점이 생긴다

각 산란 경로가 독립적인 완화 과정처럼 작용하고 단순화가 적절하면, 전체 산란율을 더하는 근사를 사용할 수 있다. 이동도로 쓰면 1/μ전체≈1/μ격자+1/μ불순물처럼 나타난다. 이를 마티슨 법칙이라고 부른다. 각각의 μ는 해당 산란 경로만 있을 때의 가상 이동도다.

따라서 둘 중 작은 이동도가 전체를 크게 제한한다. 한쪽을 많이 개선해도 다른 쪽이 이미 낮으면 전체 이동도의 개선은 작다. 단순히 두 이동도를 평균하거나 더할 수 없는 이유다. 같은 물리량의 원인이 여러 개라고 결과를 산술적으로 더하는 것은 적절하지 않다.

예시로 300K에서 격자 제한 이동도가 1000cm²/(V·s), 불순물 제한 이동도가 3000cm²/(V·s)라고 놓자. 실제 재료 측정값이 아닌 가상 입력이다. 역수를 더하면 전체 이동도는 750cm²/(V·s)가 된다.

150K에서는 격자 제한 이동도가 2000으로 좋아졌지만 불순물 제한 이동도는 600으로 나빠졌다고 가정하자. 같은 근사식의 전체 이동도는 약 462cm²/(V·s)다. 격자에 의한 제한만 보면 두 배 좋아졌지만, 실제 전체는 줄었다. 두 제한의 상대적 크기가 바뀌기 때문이다.

온도를 높이는 방향과 낮추는 방향에 따라 각 제한이 서로 다른 추세를 가지면, 두 효과의 균형 근처에서 전체 이동도에 최대점이 생길 수 있다. 최대점의 온도와 높이는 불순물 농도, 이온화, 밴드 구조와 산란 모델에 따라 달라진다. 모든 시료에 같은 온도 곡선을 붙일 수는 없다.

같은 온도에서도 시료를 바꾸면 지배 경로가 달라진다

총불순물 농도가 많은 시료에서는 불순물 산란의 비중이 커질 수 있다. 순도핑이 같아도 도너와 억셉터가 많이 공존하면 산란 환경이 다를 수 있다. 그래서 캐리어 농도가 비슷한 두 시료의 이동도가 같으리라는 보장은 없다.

MIT의 HEMT 구조 강의 5쪽은 도핑된 공급층과 도핑하지 않은 채널 사이에 비도핑 스페이서를 둔 단면을 보여 준다. HEMT는 이종 재료의 접합을 이용하는 고전자이동도 트랜지스터다. 캐리어를 공급한 불순물과 전자가 움직이는 층을 떨어뜨리는 선택은 불순물 산란의 영향을 조절하기 위한 것이다. 전자 수를 늘리는 목표와 이동 경로를 깨끗하게 만드는 목표가 다를 수 있다.

실제 트랜지스터에서는 벌크에 없던 제한도 들어간다. 표면 가까이의 거칠기, 절연막 전하, 계면 결함이 채널의 운동을 바꿀 수 있다. 같은 재료라도 게이트로 전자를 표면 쪽에 더 강하게 모으면 이동도가 달라질 수 있다. 따라서 벌크의 온도별 이동도 표를 그대로 얇은 반전 채널에 복사하면 구조의 영향을 놓친다.

측정으로 추출한 이동도의 종류도 확인해야 한다. 홀 측정에서 얻는 이동도, 전계효과 소자의 전달 특성에서 추정한 이동도 등은 모델과 보정 조건이 다를 수 있다. 접촉 저항이나 캐리어 수 추정이 틀리면 이동도처럼 보이는 숫자에 다른 오차가 들어간다. 물성 비교에서는 이름과 단위만 맞추는 것보다 추출 조건을 맞추는 것이 중요하다.

역수 합도 완벽한 법칙은 아니다

마티슨 형태는 유용하지만 모든 산란 상황에 정확하게 적용되는 법칙은 아니다. 에너지에 따라 다른 산란률을 하나의 평균 시간으로 줄이는 과정, 여러 산란 경로의 상관, 캐리어 분포 변화가 영향을 줄 수 있다. 서로 다른 모델에서 얻은 두 이동도를 역수로 합쳤다고 실제 결과가 반드시 맞는 것은 아니다.

앞의 계산은 어떤 항이 전체 제한을 지배하는지 보는 최소 모델이다. 실제 재료를 분석할 때는 온도 범위와 캐리어 분포에 맞는 산란 모델로 검증해야 한다. 데이터가 모델과 다르면 숫자 하나를 임의로 조정하기 전에 누락된 경로와 측정 영향을 살펴야 한다.

또 이동도가 줄었다는 사실과 전도도가 줄었다는 사실을 분리해야 한다. 전도도는 캐리어 농도까지 곱한다. 저온에서 불순물 동결로 농도가 달라지거나 고온에서 진성 캐리어가 늘면 이동도 추세만으로 저항을 예측할 수 없다. 이동도를 따로 보는 목적은 이러한 수지와 이동의 효과를 나누기 위해서다.

처음의 온도 곡선이 꺾이는 것은 격자의 영향이 사라져서 전자가 자유롭게 움직이게 되었다는 단순한 과정이 아니다. 남아 있는 다른 산란이 상대적으로 지배적이 되면서 전체 반응이 달라진 것이다. 온도에 따른 이동도를 읽을 때는 어느 산란이 현재의 제한인지 먼저 판단해야 한다. 그 다음 농도와 구조 조건을 맞춰 비교하면 냉각이나 도핑 변경이 실제 수송 개선으로 이어질지 구체적으로 설명할 수 있다.