확산 커패시턴스는 어디에 전하를 저장할까
순방향으로 흐르는 다이오드를 작은 교류 신호로 측정하면 예상보다 큰 커패시턴스가 보일 수 있다. 두 금속판의 면적을 늘린 것도 아닌데 전하를 많이 받아들이는 것이다. 그 전하는 공핍층이 아니라 접합 양쪽의 준중성 영역에 주입된 캐리어로 저장된다.
확산 커패시턴스는 주입된 캐리어의 저장과 시간 응답이 만드는 용량성 효과다. 여기서 특히 조심할 점은 저장 전하를 전압으로 미분한 값과, 단자 교류 전류에서 추출한 값의 정의다. 같은 이름을 쓰더라도 모델과 측정 방법에 따라 계수가 달라질 수 있다.
저장 전하는 공간에 퍼진 농도의 적분이다
한쪽의 소수캐리어 주입이 지배하는 긴 다이오드를 생각하자. 저주입, 일정한 확산 계수 D와 수명 τ, 준중성 영역의 전기장 무시를 가정하면 과잉농도는 접합 경계에서 멀어지며 지수적으로 감소한다. 확산 길이는 L=√(Dτ)다.
과잉농도를 영역 전체에 적분해 기본 전하량과 면적을 곱하면 저장 소수캐리어 전하 Q를 얻는다. 정상 상태에서는 Q=τI가 된다. MIT 저장 전하 강의 3~6쪽은 이 전하와 준중성을 유지하는 반대 전하를 연결한다.
순방향 전류가 I≈I0 exp(V/VT)이고 τ가 일정하면 정상 상태 전하의 미분은 dQ/dV=τI/VT다. 전류가 커지면 같은 작은 전압 변화에 대한 저장 전하의 변화도 커진다. 수명이 길면 같은 정상 전류를 유지하는 데 남아 있는 전하도 많다.
가상 조건에서 I=1mA, τ=100ns, VT=25.9mV이면 Q=100pC, 정상 전하 미분은 약 3.86nF다. 1mV의 작은 전압 변화에 대해 정상 상태 전하가 약 3.86pC 변한다는 뜻이다. 전압 변화가 열전압에 비해 충분히 작다는 선형 근사도 필요하다.
단자에서 읽은 교류 값은 왜 절반이 될 수 있을까
저장 전하가 변하는 동안에는 재결합 전류도 함께 변한다. 시간에 따라 달라지는 공간 분포를 풀면 모든 지점이 새로운 정상 분포로 즉시 바뀌지 않는다. 따라서 정상 전하의 미분만으로 단자 전류의 위상까지 정확히 결정할 수는 없다.
앞의 긴 다이오드 모델에서 한쪽 주입 성분의 작은 신호 어드미턴스는 Y=gd√(1+jωτ)다. gd≈I/VT이며, j는 교류 위상을 표현하는 허수 단위다. IIT Bombay의 확산 어드미턴스 유도는 시간 의존 확산 방정식과 경계의 전류 기울기를 연결한다.
ωτ가 1보다 충분히 작으면 제곱근은 1+jωτ/2로 근사된다. 따라서 단자 어드미턴스를 Y≈gd+jωC로 표현할 때 C≈τI/(2VT)다. 앞의 가상 조건이면 약 1.93nF다. 정상 저장 전하의 미분 3.86nF와 구분된다. 두 숫자 중 하나를 오류라고 지우기 전에 무엇을 정의하고 계산했는지 확인해야 한다.
집중 전하 모델에서는 수송을 요약한 유효 시간으로 C를 표현하기도 한다. 그 시간 매개변수와 실제 벌크 재결합 수명을 조건 없이 동일시하면 계수 차이가 사라진 것처럼 보인다. 시뮬레이터 매개변수를 자료에서 옮길 때 정의를 읽어야 하는 이유다.
주파수가 올라가면 고정 커패시터 그림이 약해진다
τ=100ns라면 ωτ≪1의 기준은 주파수가 약 1.59MHz보다 충분히 낮다는 뜻이다. 1.59MHz가 모든 실제 다이오드의 고정 대역폭이라는 뜻은 아니다. 그 모델의 시간 척도를 주파수로 바꾼 값이다.
주파수가 높아지면 확산할 수 있는 거리와 전류 위상이 달라져 어드미턴스의 실수·허수 성분이 모두 변한다. 한 개의 고정 C와 고정 저항으로 넓은 주파수 범위를 설명하기 어려워진다. 접합 커패시턴스, 직렬저항, 접촉과 배선의 기생도 측정에 추가된다.
짧은 준중성 영역에서는 접촉 경계가 농도 분포를 결정하고 저장 시간도 긴 다이오드의 τ와 달라진다. 주입이 커져 수명이나 전도도가 바뀌면 앞의 선형 모델을 그대로 사용할 수 없다. 순방향에서 큰 C가 나타났다는 사실만으로 긴 저주입 모델을 채택할 수는 없는 것이다.
회로가 묻는 시간 척도로 돌아온다
작은 신호 회로라면 실제 동작 전류에서 측정 주파수의 어드미턴스를 확인한다. 큰 전압 전환이라면 남아 있는 전하가 어떤 경로로 제거되는지 봐야 한다. 동일한 수명 숫자를 두 문제에 넣어 모든 파형을 예측할 수 있다고 기대하지 않는다.
저장 캐리어라는 물리적 원인은 공통이지만, 정상 전하의 민감도와 단자에서 읽는 동적 응답은 서로 다른 질문이다. 확산 커패시턴스를 사용할 때 그 정의와 공간·시간 모델을 함께 적으면, 데이터시트와 교재와 시뮬레이터 사이의 숫자 차이를 훨씬 정확하게 해석할 수 있다.