boost duty를 늘렸는데 output이 잠깐 반대로 움직이는 이유
boost의 output이 낮아져 duty를 올렸는데, 아주 짧은 시간에는 output이 더 내려갈 수 있다. Boost RHP Zero는 이 반대 방향의 초기 response를 설명한다. 더 긴 시간의 conversion ratio와 당장 output으로 흐르는 current가 같은 방향으로 움직이지 않기 때문이다.
switch가 on인 동안 output은 capacitor를 쓴다
이상적인 boost의 on-time에는 input이 inductor current를 늘리고, output으로 가는 경로는 막힌다. output load는 capacitor에서 current를 받는다. off-time에는 inductor가 output 쪽으로 energy를 전달한다.
positive CCM의 주기 평균 모델에서 output으로 전달되는 current는 대략 (1−D)×IL이다. steady state에서는 이 값이 load current와 맞는다. duty를 증가시키는 순간에는 inductor current가 연속이므로 아직 같은 IL인데 전달 interval인 1−D는 줄어든다. capacitor에 공급되는 current가 먼저 감소한다.
그 뒤 길어진 on-time이 IL을 높이고 새로운 steady state에 접근한다. 이상적 conversion ratio Vout=Vin/(1−D)에서는 duty 증가가 높은 output voltage로 이어진다. 초기 response와 장기 response 사이의 방향 차이가 핵심이다.
평균 방정식으로 초기 부호를 확인한다
계산용 boost를 Vin=6V, Vout=12V, D=0.5, L=10µH, C=100µF로 정하자. load는 12Ω resistor이므로 1A를 소비하고, 평균 IL은 2A다. switching ripple과 loss를 생략한 CCM 평균 모델이다.
평균 상태 방정식은 L×dIL/dt=Vin−(1−D)×Vout, C×dVout/dt=(1−D)×IL−Iload다. steady state에서는 두 우변이 0이다.
duty를 0.55로 조금 높인 직후에는 IL=2A와 Vout=12V가 아직 유지된다. output으로 전달되는 평균 current는 0.45×2=0.9A로 낮아진다. load의 1A보다 0.1A 작아서 output의 초기 slope는 −0.1A/100µF=−1V/ms다.
동시에 inductor의 초기 상승 slope는 [6−0.45×12]/10µH=0.06A/µs다. current가 올라가면서 output 공급은 바뀐다. 따라서 −1V/ms가 긴 시간 그대로 유지된다고 외삽하지 않는다. 첫 순간의 부호를 계산한 것이다.
주파수에서 보면 zero가 다른 위상으로 작용한다
CCM boost의 단순 small-signal 모델에서 RHP zero frequency는 다음과 같다.
fRHPZ = Rload×(1−D)²/(2πL)
TI의 current-mode boost 보상 보고서는 이를 Rload/(2πL)×(Vin/Vout)² 형태로 제시한다. current-mode 제어로 power-stage 모델을 단순화해도 RHP zero가 남는다고 설명한다. SLVA452, 2–3쪽 Simplified Small Signal Model와 식 4
앞 조건을 넣으면 약 47.75kHz다. 같은 voltage ratio에서 Rload를 6Ω으로 줄여 load를 두 배로 늘리면 약 23.87kHz로 낮아진다. Rload=12Ω을 유지하고 Vin=3V, Vout=12V인 D=0.75 조건으로 바꾸면 약 11.94kHz다. 이 역시 해당 조건에서 CCM이 유지된다는 가정이 필요하다.
RHP zero의 factor는 1−s/ωRHPZ다. 양의 주파수에서 magnitude는 일반 zero처럼 커지지만 위상은 지연되는 방향이다. 47.75kHz zero가 10kHz에서 만드는 위상은 약 −11.83°다. 이것은 loop 전체의 phase margin이 아니라 이 factor 하나의 기여다.
가장 낮아지는 zero를 기준으로 bandwidth를 본다
입력이 낮아지고 load가 무거워지는 corner에서는 RHP zero가 loop crossover에 가까워질 수 있다. nominal point에서만 빠른 response를 맞추면 다른 조건의 위상 여유를 놓친다. buck에서 쓰던 보상 목표를 conversion ratio만 바꿔 복사할 수 없는 이유다.
원문의 설계 지침은 crossover를 switching frequency의 1/5와 RHP zero frequency의 1/3 중 낮은 값보다 높이지 않는 방향을 일반적으로 권고한다. 이것은 모든 boost에 적용되는 충분조건이나 안정성 보장이 아니며, 모델과 실제 loop의 조건을 확인해야 한다. 같은 원문, 4쪽 Design Steps
DCM이나 다른 topology에서는 모델이 달라진다. current sampling, slope compensation, capacitor ESR와 error amplifier의 pole도 함께 존재한다. RHP zero 하나의 숫자로 controller의 안정성을 끝낼 수 없다.
Boost RHP Zero는 duty를 올리는 조작이 바로 output 공급을 늘리지 못하는 제약을 보여 준다. 초기 current 경로를 먼저 이해하고, operating range에서 가장 낮아지는 zero와 crossover의 관계를 확인하면 원하는 transient 속도와 유지 가능한 안정성을 함께 정할 수 있다.