buck을 100% duty 가까이 쓰면 off-time도 설계값이 된다

배터리 전압이 내려가도 buck의 feedback는 같은 output을 요구한다. 하지만 입력과 출력의 차이가 작아지면 high-side switch를 더 오래 켜야 하고, 어느 순간에는 요구한 duty를 만들 수 없게 된다. Minimum Off-Time은 그 경계를 만드는 시간 조건이다.

꺼짐 시간도 한 주기의 일부다

한 주기의 길이가 T이고 high-side의 on-time이 ton이면 duty D=ton/T다. 매 주기 최소한 toff,min만큼 꺼야 하는 controller의 fixed-frequency 동작에서는 Dmax=1−toff,min/T=1−toff,min·fsw다. high-side를 계속 켜도 된다는 별도 동작을 포함한 식은 아니다.

가상의 controller가 해당 운용 조건에서 최소 off-time 200ns를 요구한다고 정하자. 500kHz의 period는 2µs라서 최대 duty는 90%다. 250kHz에서는 period가 4µs로 늘고 최대 duty는 95%가 된다. 같은 200ns라도 switching frequency에 따라 차지하는 비율이 달라진다.

LM5146의 데이터시트도 minimum off-time을 low-dropout 동작과 연결하며, PWM 전기 특성에 off-time과 maximum duty를 따로 적는다. off-time의 측정 조건에는 bootstrap voltage와 HO waveform 기준이 붙는다. 여기서 사용한 200ns는 가상 설계의 제한이며 제품의 모든 조건을 한 숫자로 보증한 것이 아니다. LM5146 Rev A, 1쪽 Features와 9쪽 PWM Control

ideal duty에 저항 손실을 더한다

이상적인 CCM buck의 steady state에서는 inductor의 한 주기 volt-second가 0이어서 Vout=D·Vin이다. 이 식만 쓰면 12V output을 90% duty로 만드는 데 필요한 입력은 12/0.9≈13.33V다. 실제 전류가 흐르면 switch와 inductor의 저항이 voltage를 소비한다.

계산을 위해 load current 2A, high-side on-resistance 0.04Ω, low-side 0.02Ω, inductor의 DC resistance 0.06Ω를 정한다. current ripple에 따른 세부 효과와 dead time은 제외한다. 두 switch가 각각 D와 1−D 동안 켜지는 CCM 근사에서 Vout=D·Vin−I[D·RH+(1−D)·RL+Rind]다.

500kHz의 Dmax=0.9에 대입하면 저항 drop은 2×(0.9×0.04+0.1×0.02+0.06)=0.196V다. 따라서 12V를 유지하려면 입력이 최소 (12+0.196)/0.9≈13.55V는 되어야 한다. off-time만 계산한 13.33V보다 높다.

입력이 13V일 때 필요한 duty를 역산하면 (12+2×(0.02+0.06))/(13−2×(0.04−0.02))≈0.9383이다. 93.83%를 요구하지만 500kHz 조건의 한계는 90%다. feedback gain을 높인다고 허용되지 않은 pulse width를 만들 수는 없다.

frequency를 낮추면 이 경계는 이동한다

250kHz에서 Dmax=0.95를 같은 loss 모델에 적용하면 drop은 0.198V, minimum input은 (12+0.198)/0.95=12.84V다. 앞의 13V 입력과 필요한 93.83% duty가 계산상 허용 범위 안으로 들어온다.

이 결과는 frequency를 낮추면 모든 성능이 좋아진다는 뜻이 아니다. 같은 inductor에서 current ripple이 커질 수 있고 transient·크기·소음 조건도 다시 맞춰야 한다. 이번 계산은 off-time이 차지하는 비율과 DC drop이 dropout 경계를 어떻게 움직이는지만 비교한다.

또 low Vin에서는 driver bias가 낮아져 MOSFET의 on-resistance가 달라질 수 있다. LM5146 원문도 낮은 gate voltage에서의 conduction·switching loss 증가를 경고한다. 앞의 RH·RL을 상수로 정한 모델은 이런 변화까지 자동으로 포함하지 않는다. 18쪽 VCC Bias Supply의 낮은 입력 전압 고려 사항

최대 duty라는 이름의 조건을 확인한다

어떤 controller는 dropout에서 frequency를 바꾸거나 별도의 bootstrap 충전 동작을 사용한다. 이런 동작에 앞의 매 주기 고정 off-time 식을 그대로 적용하려면 근거가 필요하다. bootstrap capacitor를 충전할 시간, controller의 bias 범위, current limit도 output 유지에 관여한다.

부하가 가벼워져 DCM에 들어가면 D=Vout/Vin이라는 두 구간의 CCM 식도 그대로 유지되지 않는다. 따라서 maximum duty 표를 읽을 때는 frequency뿐 아니라 conduction mode와 입력 범위를 함께 확인한다.

입력 전압의 하한을 정할 때는 원하는 output에서 필요한 duty를 먼저 구하고, off-time으로 허용되는 duty와 저항 drop을 같이 비교한다. 이 두 계산을 연결하면 입력이 아직 output보다 높은데도 regulation이 끝나는 이유를 설명할 수 있다.