DC 센서 값을 오래 평균내도 잡음이 기대만큼 줄지 않는 이유

DC 센서 값을 10배 오래 평균냈는데 표준편차가 기대한 √10배만큼 줄지 않는다. 고주파 잡음은 잦아들었지만 천천히 움직이는 값이 남는다. Flicker Noise Corner는 이 차이가 단순한 sample 수 부족인지, 저주파 잡음이 지배하기 시작한 결과인지 판단하는 기준이다.

white noise의 PSD는 주파수에 대해 일정하다. 1/f noise는 PSD가 1/f에 비례하며, amplitude density는 1/√f에 비례한다. 1/f corner는 저주파 항과 white 영역의 관계를 나타내는 주파수다. voltage noise와 current noise의 corner가 같은 op amp 안에서도 같다고 보장되지 않는다.

Analog Devices MT-048 1–4쪽은 이러한 frequency 특성과 1/f 대역 적분이 주파수 비의 log에 연결됨을 설명한다. 오래 평균낸다고 white noise와 같은 속도로 줄어들지는 않는다는 점도 다룬다. 이를 실제 평균의 전달 함수를 포함한 자체 모델로 확인해 보자.

가상 input voltage-noise PSD를 S(f) = ew² + ew²fc/f로 정한다. white density ew는 10 nV/√Hz, fc는 20 Hz다. f=fc에서는 white 항과 flicker 항의 power가 같다. 이 합산 모델의 전체 density는 그 지점에서 white density의 √2배다. 두 직선의 asymptotic 그래프를 그대로 더한 값으로 오해하지 않는다.

1/f 식을 f=0까지 연장하면 variance 적분이 발산한다. 그래서 이 예의 flicker 항은 fmin=0.001 Hz 이상에서만 존재한다고 명시하고, 그 아래는 0으로 둔다. white 항은 전체 양의 주파수에 존재한다. 이는 계산을 유한하게 만든 가정이며 실제 소자의 물리적 low-frequency cutoff를 알아냈다는 뜻이 아니다. 측정 시간이 정해졌다는 이유로 fmin을 자동으로 1/T로 바꾸지도 않는다.

길이 T초 동안의 연속 데이터를 균일하게 평균하면, 주파수 응답 크기는 |Havg(f)| = |sin(πfT)/(πfT)|다. 따라서 평균값의 variance는 white 항과 flicker 항을 각각 이 응답의 제곱으로 가중해 더한다. one-sided white 항의 정확한 적분은 ew²/(2T)다.

flicker 항은 ew²fc∫fmin∞ |Havg(f)|²/f df로 계산한다. 지정한 모델을 수치 적분하면 T=1초에서 전체 RMS는 약 109.71 nV, T=10초에서는 약 85.94 nV다. 10배 오래 평균내도 약 21.7% 감소에 그친다. 같은 조건에서 white 항만 있으면 약 7.07 nV에서 2.24 nV로 내려가 √10배의 감소를 보인다.

저주파에서는 평균 filter의 크기가 1에 가깝다. 10초 평균도 그보다 훨씬 천천히 움직이는 성분을 거의 그대로 남긴다. 평균 시간 증가가 아무 효과도 없다는 뜻은 아니다. 이 모델에서도 잡음이 줄지만, white noise의 sample independence를 가정한 감소 법칙과 다르다. fmin과 spectrum이 다르면 감소량도 바뀐다.

관측 시간이 길어져 더 느린 변화를 볼 수 있게 된 경우와, 동일한 spectrum을 더 긴 filter로 평균낸 경우는 구분해야 한다. 전자는 관찰 범위가 달라지고 후자는 filter가 달라진다. 두 조건을 동시에 바꾼 뒤 sample 수만으로 결과를 설명하면 저주파 성분의 영향을 잘못 읽을 수 있다.

또한 실제 DC 값의 움직임에는 온도 변화, reference drift, 센서 자체 변화가 섞일 수 있다. 전부 op amp의 1/f noise로 이름 붙이면 원인을 구분할 수 없다. 측정 시간과 온도 조건, 사용한 detrending 및 averaging을 기록하고, 장시간 자료에서 무엇을 신호와 오차로 정의하는지 먼저 정한다.

Flicker Noise Corner를 확인하는 이유는 1 Hz 이하를 보는 센서에 수 kHz의 white density 숫자만 적용하지 않기 위해서다. 관심 대역의 spectrum과 평균 filter를 함께 계산하면 오래 기다려도 남는 변화의 규모를 설명할 수 있다. 그 근거가 있어야 amplifier를 바꿀지, 기준과 온도를 관리할지, 측정 방식을 바꿀지 선택할 수 있다.