Deal-Grove 모델에서 산화 시간이 네 배에 가까워지는 이유

산화 시간을 두 배로 늘리면 산화막도 두 배 두꺼워질까? 실리콘의 열산화에서는 두꺼워진 막 자체가 다음 성장의 장애물이 된다. 처음에는 계면에서 반응하는 속도가 중요하지만, 시간이 지나면 산화제가 이미 만들어진 막을 통과하는 데 더 큰 부담을 치른다. Deal-Grove 모델은 이 변화하는 병목을 하나의 식으로 연결한다.

산화제는 기체에서 산화막 표면에 도달하고, 산화막 안을 확산한 뒤 실리콘 계면에서 반응한다. 정상에 가까운 상태에서 각 단계에 산화제가 계속 쌓이지 않는다면 세 단계를 흐르는 유속은 같다. MIT 원문 강의록 PDF 2–4쪽은 기체 전달, 막 내부 확산, 계면 반응의 유속을 연결해 성장식을 유도한다.

성장할수록 길어지는 이동 경로

기체 전달계수를 h, 산화막 안의 확산계수를 D, 계면 반응계수를 kₛ라 하자. 산화제의 평형 용해 농도를 C*, 막 두께를 X로 쓰면 단순한 정상 유속은 다음 꼴이다.

F = C* / (1/h + X/D + 1/kₛ)

분모는 이동을 방해하는 세 항의 합이다. 그중 X/D는 막이 두꺼워질 때 커진다. 같은 농도 차이로 더 긴 거리를 통과해야 하니, 계면에 도착하는 산화제 유속이 줄어든다. 기체 전달이 충분히 빠르면 1/h는 작지만, 모든 조건에서 처음부터 지워도 되는 항은 아니다.

단위 부피의 산화막을 만드는 데 필요한 산화제 수를 N₁이라 놓으면 dX/dt = F/N₁이다. 상수를 묶어 정리하면 익숙한 성장률 식이 나온다.

dX/dt = B / (2X + A)

B = 2DC*/N₁, A = 2D(1/kₛ + 1/h)다. 이를 적분하면 X² + AX = B(t + τ)가 된다. 초기 두께 Xᵢ가 있다면 τ = (Xᵢ² + AXᵢ)/B로 나타낼 수 있다. τ는 이 모델 안에서 초기 막에 대응하는 시간이며, 초기 성장의 모든 비정상성을 해결해 주는 자유로운 보정은 아니다.

두께를 두 배로 만드는 시간

가상의 상수 A = 100nm, B = 10,000nm²/h를 사용해 보자. 모델의 시간 기준을 X = 0에서 잡으면 다음 결과를 얻는다.

50nm에서 100nm로 목표를 두 배 높였을 때 누적 시간은 약 2.67배다. 500nm와 1,000nm를 비교하면 약 3.67배다. 표의 숫자는 실제 온도나 산화 분위기를 지정한 공정 조건이 아니다. 특히 실제 극초기 성장을 X = 0부터 이 식으로 정확히 예측한다는 뜻도 아니다.

모델 안에서 2X가 A보다 훨씬 작으면 성장률은 거의 B/A로 일정하다. 이때 두께는 시간에 비례하며 계면 반응 등의 두께와 무관한 부담이 지배한다. 반대로 X가 A보다 충분히 크면 X² ≈ Bt가 되어 두께가 시간의 제곱근에 비례한다. 이 확산 지배 극한에서는 두께를 두 배로 만드는 누적 시간이 약 네 배가 된다. 중간 두께에서는 두 항을 함께 계산해야 한다.

식을 잘 맞추는 것과 적용할 수 있는 것은 다르다

산소 유량을 늘린다고 성장률이 같은 비율로 증가하지는 않는다. 이미 기체 전달이 충분히 빠르면 병목은 산화막 내부나 계면에 있다. 온도를 바꿀 때도 D, kₛ, 용해 농도 등이 함께 달라지므로 한 항만 변한다고 가정해서는 안 된다.

평평한 막, 일정한 온도와 분위기, 단순한 반응·확산이라는 가정도 확인해야 한다. MIT 강의록 6쪽은 평면 산화 등의 적용 조건을 명시하고 약 20nm 이하의 초기 성장에는 보정이 필요할 수 있음을 지적한다. 이 수치를 모든 산화 조건의 날카로운 경계로 해석할 필요는 없다.

Deal-Grove 모델이 주는 가장 유용한 답은 성장의 병목이 고정되어 있지 않다는 것이다. 막이 자라며 확산 경로가 늘어나므로 같은 시간을 더해도 추가 두께는 점점 작아진다. 필요한 두께와 조건이 모델의 범위에 들어오는지 확인한 뒤, 반응 항과 확산 항을 함께 비교하면 시간 계획의 근거가 생긴다.