LER 파워스펙트럼으로 구별하는 같은 1nm의 두 경계

선 경계의 RMS 거칠기가 둘 다 1nm라면 두 공정이 같은 경계를 만들었다고 볼 수 있을까. 한 선은 짧은 간격으로 흔들리고 다른 선은 길게 굽이칠 수 있다. LER 파워스펙트럼은 변동의 크기를 공간 주파수별로 나누어 이 차이를 보여준다.

총량 하나에서 공간적인 분포로

경계를 따라 이동하는 좌표를 y, 이상적인 경계에서 벗어난 값을 x(y)라고 하자. 평균 위치나 배경 기울기를 처리한 뒤 x의 제곱 평균을 구하면 RMS의 제곱이다. 이 값은 변동이 얼마나 큰지 알려주지만 어느 길이 규모에서 발생했는지는 남기지 않는다.

PSD는 같은 변동을 공간 주파수 f의 성분으로 분해한 것이다. nm를 길이 단위로 쓰는 1차원 PSD는 nm³의 단위를 가질 수 있다. PSD를 f에 대해 적분하면 nm²인 분산이 된다. 한쪽·양쪽 스펙트럼과 정규화 방식에 따라 계수가 달라져, 단위와 정의를 함께 적어야 한다. NIST 원문은 이 관계를 Fourier 계수와 Parseval 관계로 설명한다. Villarrubia 등의 연구, PDF 6–7쪽 2.5절

RMS가 같은 두 경계의 계산

가상의 경계 A를 xA(y)=√2·cos(2πy/20)nm, B를 xB(y)=√2·cos(2πy/200)nm로 정하자. y와 주기는 nm 단위이고, 기준 경계는 이미 알려져 있어 별도 기울기 피팅을 하지 않는다. 2,000nm 길이는 두 경우 모두 정수 개의 주기를 포함하므로 평균은 0, RMS는 정확히 1nm다.

A의 스펙트럼은 f = 0.05nm⁻¹에, B는 0.005nm⁻¹에 모인다. 이는 단일 파장 예제이므로 실제 랜덤 거칠기의 넓은 PSD와 달리 선 스펙트럼이다. 50nm보다 긴 변동만 모으는 대역, 즉 f<0.02nm⁻¹을 비교하면 A는 이 예에서 분산 0, B는 1nm²다. 총 RMS가 같아도 선택한 길이 대역의 정보는 다르다.

이 결과만으로 B가 어떤 소자에서 반드시 더 나쁘다고 판단하지 않는다. 전기적 영향은 소자의 형상과 전류 경로가 어느 공간 성분에 민감한지에 따라 달라진다. PSD의 역할은 필요한 소자 모델에 넣을 공간 정보를 보존하는 것이다.

측정의 창도 스펙트럼을 고른다

길이 L = 2,000nm의 기본 주파수 간격은 1/L = 0.0005nm⁻¹이다. 샘플 간격 Δy = 2nm이면 Nyquist 주파수는 1/(2Δy) = 0.25nm⁻¹이다. 짧은 길이를 확대해서 보기만 하면 긴 파장의 정보는 얻지 못한다. 반대로 긴 구간을 성기게 읽으면 짧은 변동이 누락되거나 다른 주파수로 나타날 수 있다.

실제 경계에는 영상의 흐림과 위치 검출 잡음도 들어간다. 독립적인 위치 오차의 표준편차를 0.6nm라고 지정하면, 참 분산 1nm²에 잡음 분산 0.36nm²가 더해져 측정 RMS의 제곱 기대값은 1.36nm²다. 그 제곱근은 약 1.166nm이며, 유한 표본의 RMS 평균과 정확히 같은 통계량은 아니다. 같은 원문, PDF 12–14쪽 4절

평균 영상이나 필터로 잡음을 줄이는 과정은 높은 공간 주파수의 실제 거칠기도 줄일 수 있다. 일정한 잡음 바닥을 무조건 빼기보다 반복 영상과 검출 알고리즘을 사용해 잡음의 형태를 확인해야 한다. 음수가 된 보정 PSD를 실제 음의 거칠기로 해석할 수는 없다.

LER 파워스펙트럼을 비교할 때는 RMS와 함께 측정 길이·간격·배경 제거·필터·잡음 보정 조건을 맞춘다. 그래야 스펙트럼의 차이를 공정의 차이로 읽을 수 있고, 측정 장비가 만든 차이를 경계의 물성으로 오인하지 않을 수 있다.