op amp 폐루프 gain은 저항비대로 정확히 나오지 않는다

저항을 정확히 골라 op amp gain을 100으로 만들었다. 그런데 DC 입력을 넣었을 때 출력은 정확히 100배가 아니다. 저항 허용 오차를 더 줄여도 남는 차이가 있다. Finite Open-Loop Gain은 feedback이 존재해도 입력 차동 전압이 완전히 0이 되지 않는 이유를 설명한다.

voltage-feedback op amp를 선형 DC 모델로 놓으면 Vout = A×(V+ − V−)다. A는 feedback을 닫기 전의 open-loop voltage gain이다. 비반전 회로에서는 V+에 Vin을 넣고, 출력의 일부 βVout을 V−로 되돌린다. β는 저항망의 voltage attenuation이다. 입력 전류와 offset, 출력 제한을 우선 무시한다.

식을 대입하면 Vout = A×(Vin − βVout)이고, 정리한 gain은 G = A/(1 + Aβ)다. A가 무한대로 커질 때에만 G가 이상적인 1/β가 된다. 실제 feedback은 출력이 필요한 값에 가까워지도록 입력 차이를 줄이지만, 유한한 A로 출력을 만들려면 작은 차이가 남아야 한다.

Analog Devices MT-044 1쪽은 유한 open-loop gain의 closed-loop 식과 noise gain을 사용한 동일한 표현을 설명한다. 여기의 비반전 회로에서는 이상적인 signal gain과 noise gain이 같지만, 반전 회로에서는 둘이 같지 않다. MT-033 2–3쪽도 두 gain을 구분한다. 비반전 회로에서 얻은 1/β를 모든 입력 신호의 gain으로 그대로 사용하면 안 된다.

가상 저항망의 β를 0.01로 정하자. 이상적인 gain은 100이다. A가 20,000이면 Aβ는 200이고 실제 gain은 20,000/201 ≈ 99.50249다. 이상적인 100을 기준으로 한 상대 오차의 크기는 약 0.4975%다. A를 200,000으로 높이면 실제 gain은 약 99.95002, 같은 기준의 오차는 약 0.04998%가 된다.

두 경우 모두 op amp의 A는 100보다 훨씬 크다. 그래도 정확도를 판단하는 데는 원하는 gain에 비해 얼마나 큰지가 중요하다. β가 작아져 높은 closed-loop gain을 요구하면 loop gain Aβ가 줄어든다. 높은 증폭률을 설정했다고 높은 정확도가 자동으로 따라오지는 않는다.

필요한 A를 거꾸로 구할 수도 있다. 양수인 DC A와 β를 사용한 이 모델에서 상대 오차는 정확히 ε = 1/(1 + Aβ)다. 허용 오차를 0.1%, 즉 0.001 이하로 정하면 Aβ ≥ 999가 필요하다. β=0.01에서는 A가 최소 99,900이어야 한다. 흔히 쓰는 ε ≈ 1/(Aβ)는 loop gain이 충분히 클 때의 근사이며, 위 결과는 정확한 식으로 계산했다.

이 조건은 finite gain 하나에만 할당한 예산이다. 저항비의 오차, input offset과 bias current, 센서 및 기준 전압의 오차가 따로 남는다. 전체 정확도 0.1%가 목표인데 finite gain에만 0.1%를 전부 배정하면 다른 오차를 넣을 공간이 없다. 가상 A와 β를 실제 제품의 보장 성능으로 읽지도 않는다.

A는 하나의 고정 상수가 아닐 수 있다. MT-044는 output level과 load, 온도에 따른 변화가 closed-loop gain의 불확실성과 비선형성을 만들 수 있다고 설명한다. 한 조건에서 gain을 보정했어도 다른 출력·부하에서 A가 바뀌면 같은 보정이 전체 범위의 오차를 없애지 못할 수 있다. 데이터시트의 A가 어느 조건의 전형값 또는 보장값인지 확인해야 한다.

AC까지 넓히면 A와 β의 크기뿐 아니라 위상이 들어간다. 이 DC 계산은 settling이나 stability를 보장하지 않는다. Finite Open-Loop Gain을 검토할 때는 원하는 gain과 오차 예산에서 필요한 loop gain을 먼저 구하고, 실제 부하·온도·출력 범위에서 그 조건이 유지되는지 확인한다. 그러면 저항비를 정확하게 만들었는데도 남는 오차의 크기와 출처를 설명할 수 있다.