RF amplifier의 S11만으로 발진 안전을 판단할 수 없는 이유
RF amplifier의 입력과 출력 return loss가 모두 좋아 보이는데, 연결한 matching network에 따라 발진이 생긴다면 무엇을 놓친 것일까. S11과 S22는 각 반대쪽 port를 기준 impedance로 종단했을 때의 반사를 보여 준다. 출력에서 입력으로 신호가 돌아오는 S12가 있으면 실제 load가 입력의 상태까지 바꾼다. Rollett stability factor는 이 상호작용을 포함해 수동 source·load에 대한 안정성을 평가하는 지표다.
반사가 작은 두 port도 서로 영향을 준다
특정 frequency에서 amplifier의 선형 S-parameter가 알려졌다고 하자. load의 reflection coefficient를 ΓL이라고 하면 amplifier를 바라보는 입력 반사는 Γin=S11+(S12·S21·ΓL)/(1−S22·ΓL)이다. S12가 0인 단방향 모델에서는 load가 입력에 영향을 주지 않지만, 실제 reverse transmission은 출력 반사를 증폭 경로와 함께 입력으로 되돌린다. ADI, LNA Stability Part 2의 S-parameter 설명
이를 source와 load 전체 범위에 대해 판단할 때 Δ=S11·S22−S12·S21과 K=(1−|S11|²−|S22|²+|Δ|²)/(2|S12·S21|)를 쓴다. 안정된 선형 two-port 모델에서 해당 frequency의 모든 수동 종단에 대한 unconditional stability 조건은 K>1과 |Δ|<1이다. K만 통과했는지 보아서는 부족하다. Keysight, Practical RF Amplifier Design, 5쪽 식 7·8과 안정성 조건
S-parameter는 복소수다. Δ를 계산할 때 각 성분의 크기만 곱하면 위상에 따른 차이를 잃는다. 또 S12·S21=0인 경우에는 K 식의 분모가 0이므로 이 식을 그대로 계산하지 않고 단방향 모델의 입력·출력 반사 조건을 별도로 살펴야 한다.
S12만 바꾸어도 판단이 뒤집힌다
계산을 분명히 하려고 모든 S-parameter의 위상이 0이고 값이 실수인 가상 amplifier를 정하자. S11=0.5, S22=0.4, S21=3, S12=0.05라면 Δ=0.2−0.15=0.05이고 K=1.975다. 두 조건을 모두 만족한다. 실제 부품의 측정값이 아닌 한 frequency의 예시다.
다른 값은 유지하고 S12만 0.15로 바꾸면 Δ=−0.25, K=0.725가 된다. |S11|과 |S22|는 여전히 1보다 작지만 unconditional stability를 만족하지 않는다. 이것은 어느 연결에서나 반드시 발진한다는 뜻이 아니라, 수동 종단 중 불안정한 조합이 있을 수 있다는 뜻이다.
실제로 두 번째 모델에 ΓL=0.9를 넣으면 Γin=0.5+0.45×0.9/(1−0.4×0.9)=1.1328125다. 수동 load를 연결했는데 입력에서 보이는 반사의 크기가 1을 넘었다. source도 ΓS=1/Γin≈0.88276로 놓으면 이상적 선형 모델의 1−ΓS·Γin이 0이 된다. 두 종단 모두 |Γ|<1인데 feedback의 분모가 사라지는 조합이 존재한다.
이 계산은 실제 발진 진폭과 시작 시간을 예측하지 않는다. nonlinear limiting이나 전원 회로를 포함하지 않았고, 한 frequency의 모델만 사용했다. 반대로 같은 amplifier를 ΓS=ΓL=0으로 연결한 경우까지 앞의 불안정 조합과 동일하게 취급해서도 안 된다.
통과한 frequency의 바깥을 남겨 두지 않는다
동작 band의 K만 확인하면 저주파 전원 경로나 band 바깥의 기생 resonance를 놓칠 수 있다. frequency, bias, 온도에 따른 S-parameter와 실제 matching network의 종단을 함께 검토해야 한다. K=1에 가까운 경계와 충분한 여유를 가진 경우도 구분하는 편이 좋다.
stabilizing resistance를 추가하면 역방향 feedback을 줄일 수 있지만 gain과 noise figure도 달라질 수 있다. 바뀐 회로의 S-parameter로 조건을 다시 계산해야 한다. Rollett stability factor의 역할은 좋은 return loss를 발진 안전으로 곧바로 읽는 습관을 끊고, 두 port 사이의 연결과 종단 범위를 계산으로 확인하게 하는 데 있다.