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title: "편석계수는 잉곳의 처음과 끝을 왜 다르게 만들까"
author: "브레이브브라우저쓰자"
published_at: "2026-10-13T10:04:04.455Z"
updated_at: "2026-10-06T00:25:21.783Z"
tags: ["편석계수"]
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# 편석계수는 잉곳의 처음과 끝을 왜 다르게 만들까

이 글은 AI가 활용됐습니다.

[원문](https://ariser.io/@writer_a9817d5a8de0/%ED%8E%B8%EC%84%9D%EA%B3%84%EC%88%98%EB%8A%94-%EC%9E%89%EA%B3%B3%EC%9D%98-%EC%B2%98%EC%9D%8C%EA%B3%BC-%EB%81%9D%EC%9D%84-%EC%99%9C-%EB%8B%A4%EB%A5%B4%EA%B2%8C-%EB%A7%8C%EB%93%A4%EA%B9%8C)

한 용탕에 도펀트를 일정량 넣고 잉곳을 성장시켰다. 처음 잘라 낸 웨이퍼와 끝부분 웨이퍼의 농도가 같을 것 같지만, 실제로는 성장 중 남은 액체의 조성이 변할 수 있다. 편석계수는 불순물이 고체와 액체에 같은 농도로 들어가지 않는다는 사실을 수치로 나타낸다.

## 새 고체가 가져가지 않은 불순물은 남는다

고체·액체 계면의 평형 농도를 각각 C_s와 C_l라고 하면 편석계수는 k=C_s/C_l다. k가 1보다 작으면 새로 생긴 고체에는 인접 액체보다 낮은 농도로 불순물이 들어간다. 나머지 불순물은 액체 쪽에 남아 남은 용탕을 점점 진하게 만든다. 같은 원료에서 시작했어도 뒤에 자란 부분의 농도가 높아질 수 있는 이유다. [Dean Neikirk, Bulk crystal growth, PDF 9쪽](https://www.weewave.mer.utexas.edu/DPN_files/courses/FabLab/lecture_ovrhds/440_grwth_wfrs.pdf)

이 농도 비율은 고체와 액체 사이의 분배 조건이다. k=0.3이라는 말이 전체 불순물의 30%만 최종 결정에 들어가고 70%는 반드시 버려진다는 뜻은 아니다. 남은 액체의 농도가 변하므로 다음 순간의 고체도 다른 농도로 성장한다. 어느 시점까지 성장했는지를 함께 알아야 총량을 계산할 수 있다.

## 남은 용탕의 수지로 농도 변화를 구한다

전체 초기 양을 1로 두고, 응고한 비율을 f라고 하자. 액체가 완전히 혼합되어 한 농도 C_l을 갖고, 고체 내부의 재확산이 없고, 계면의 k가 일정하다고 가정한다. 농도는 초기 양과 같은 기준으로 환산해 고체·액체의 밀도 차이를 생략한다.

남은 액체의 불순물 양은 (1−f)C_l이다. 아주 작은 df가 고체가 되면 kC_l df만큼 가져가므로 수지는 다음과 같다.

**d[(1−f)C_l] = −kC_l df**

정리하면 dC_l/C_l=(1−k)df/(1−f)이고, 초기 액체 농도 C₀에서 적분하면 다음 관계를 얻는다.

**C_l = C₀(1−f)^(k−1)**

**C_s = kC₀(1−f)^(k−1)**

흔히 쓰는 이 응고 분포식은 “불순물이 뒤로 밀린다”는 설명을 실제 양의 보존과 연결한다. C_s는 해당 순간에 새로 생기는 고체의 농도이지, 그때까지 성장한 잉곳 전체의 평균 농도가 아니다.

## 마지막 10%가 절반을 담는 가상 예

C₀=10¹⁶cm⁻³, k=0.3인 가상 조건을 보자. 성장 시작의 C_s는 3.0×10¹⁵cm⁻³다. 절반이 응고했을 때는 약 4.87×10¹⁵cm⁻³, 90%가 응고했을 때는 약 1.50×10¹⁶cm⁻³다. 뒤쪽 순간 농도가 초기보다 약 다섯 배 높아졌다. 같은 k를 썼는데도 이런 변화가 생긴다.

f=0.9에서 남은 액체의 불순물 양을 초기 불순물 양으로 나누면 (1−f)^k=0.1^0.3, 약 0.501이다. 부피 기준으로 마지막 10%인 액체에 초기 불순물의 약 절반이 남은 셈이다. 먼저 성장한 90%의 평균 고체 농도는 약 5.54×10¹⁵cm⁻³로, 마지막 순간의 1.50×10¹⁶cm⁻³와 크게 다르다.

이 값들은 특정 도펀트의 실제 잉곳 데이터가 아니다. k<1의 분배와 용탕 감소만으로 축 방향 변화가 생길 수 있음을 보여 주는 계산이다. 전기저항까지 예측하려면 불순물의 활성화, 보상과 이동도 조건도 더 필요하다.

## 계면 농도와 용탕 평균은 같지 않을 수 있다

실제 용탕이 완전히 혼합되지 않으면 계면에서 밀려난 불순물이 그 근처에 쌓일 수 있다. 이때 평형 편석계수에 넣어야 하는 액체 농도는 계면의 농도다. 멀리 떨어진 용탕 평균을 대신 넣으면 같은 재료의 k가 성장 속도에 따라 바뀌는 것처럼 보일 수 있다.

Burton·Prim·Slichter의 원 연구는 액체의 확산과 흐름이 정상상태 결정 성장 중 불순물 포함에 미치는 영향을 모델에 넣었다. 따라서 계면의 평형 분배와, 장치에서 관찰하는 유효 분배를 구분해야 한다. [Burton 외, The Distribution of Solute in Crystals Grown from the Melt. Part I. Theoretical, 초록](https://doi.org/10.1063/1.1698728)

단순 식은 f가 1에 가까워지면 k<1에서 농도가 끝없이 증가한다. 실제로 그 끝까지 희석 용액, 일정 k와 이상적인 계면 조건을 유지할 수 없으므로 마지막 꼬리의 예측을 그대로 믿으면 안 된다. k>1이면 초기 고체가 불순물을 더 많이 가져가 반대 추세도 가능하다.

편석계수는 농도를 한 번 정해 주는 상수가 아니라, 성장하면서 바뀌는 액체와 새 고체를 연결하는 비율이다. 잉곳의 처음과 끝을 비교하려면 그 비율에 남은 용탕의 양과 계면 혼합을 더해야 한다. 순간 농도와 평균 농도를 나누는 것만으로도 웨이퍼 위치에 따라 성질이 달라지는 이유가 훨씬 정확해진다.