반사율 계측에서 100nm와 300nm가 같은 신호를 만드는 조건

반사율 한 점을 정확하게 측정해도 막 두께가 하나로 정해지지 않을 수 있다. 막 안에서 왕복한 빛의 위상은 두께에 따라 반복되기 때문이다. 반사율 계측의 핵심은 정확한 신호를 얻는 데 더해, 서로 다른 두께가 같은 신호를 만드는 조건을 찾아내는 것이다.

반사 진폭과 위상이 함께 스펙트럼을 만든다

막의 윗면에서 바로 돌아온 빛과 아랫면까지 갔다 돌아온 빛은 서로 간섭한다. 정상 입사한 투명한 단일 막에서 왕복 위상 δ = 4πnd/λ다. n은 막의 굴절률, d는 두께, λ는 진공 파장이다. 실제 반사율에는 이 위상뿐 아니라 각 경계의 반사 진폭도 들어간다.

계산용으로 외부 n0 = 1, 막 n1 = 1.5, 기판 n2 = 3.5를 지정하자. 모두 흡수가 없고 이 파장 범위에서 분산도 없다고 가정한 가상 재료다. 실제 실리콘의 복소 굴절률을 대신한 값으로 쓰지 않는다. 경계 반사계수 r01 = (n0 − n1)/(n0 + n1)은 −0.2, r12는 −0.4다.

다중 반사를 합하면 r = [r01 + r12·exp(jδ)]/[1 + r01r12·exp(jδ)]이고 반사율 R = |r|²다. 위상만 대입하는 것이 아니라 분모에 들어간 반복 반사까지 합친 식이다. Byrnes의 다층 광학 유도, PDF 5–9쪽

100nm와 300nm가 같은 반사율을 보이는 경우

λ = 600nm에서 d = 100nm이면 δ는 π다. d = 300nm이면 3π다. exp(jπ)와 exp(j3π)는 둘 다 −1이므로 복소 반사계수도 동일하다. 두 경우 모두 R = (0.2/0.92)² ≈ 0.04726, 즉 약 4.726%다. 두께가 세 배인데도 이 파장의 반사율은 정확히 같다.

일반적으로 이 모델에서 같은 λ의 두께 주기는 λ/(2n1)이다. 600nm에서는 200nm마다 같은 위상이 돌아온다. 검출기의 잡음을 줄여도 이 수학적인 중복은 없어지지 않는다. 단일 파장의 수치와 한 개의 두께 후보만 제시하면 다른 가능한 해를 놓칠 수 있다.

파장 범위가 두 후보를 구별한다

같은 두 후보를 λ = 500nm에서 비교해 보자. 직접 Fresnel 식을 계산하면 100nm의 R은 약 8.046%, 300nm는 약 23.625%다. 이 파장에서는 두께 주기가 약 166.67nm라서 200nm 차이가 같은 위상으로 돌아오지 않는다. 따라서 600nm와 500nm 데이터를 함께 쓰면 적어도 이 두 후보는 구별된다.

그렇다고 파장 두 개가 모든 다층막의 두께를 유일하게 정한다는 뜻은 아니다. 층 수와 두께, 굴절률의 분산과 흡수까지 자유롭게 바꾸면 여러 조합이 비슷한 스펙트럼을 만들 수 있다. 측정 파장대가 좁으면 구별되는 변화가 잡음보다 작을 수도 있다.

nd가 같으면 왕복 위상은 같지만 굴절률을 바꾸면 경계 반사계수도 바뀐다. 그러므로 ‘광학 두께가 같다’는 이유만으로 전체 반사 스펙트럼이 동일하다고 주장해서는 안 된다. 실제 피팅은 위상과 진폭을 함께 비교해야 한다.

피팅 오차가 작다는 것과 두께가 맞다는 것

거칠기나 막 내부 불균일, 제한된 수집 각도는 실제 신호와 평탄한 막 모델의 차이를 만든다. 그 차이를 두께나 굴절률에 모두 떠넘기면 잔차는 작아도 물리적 해석은 틀릴 수 있다. 입사각과 편광, 기준 반사율, 층 순서와 재료 정보를 먼저 정하고, 독립적으로 알려진 굴절률이나 두께 범위를 피팅에 넣는 것이 도움이 된다.

반사율 계측의 결과에는 사용한 파장대와 모델, 허용한 재료 변수 및 다른 두께 후보의 비교가 함께 있어야 한다. 위 예에서 600nm 하나는 두 후보를 구별하지 못했고 500nm가 추가 정보를 제공했다. 이처럼 측정 범위를 넓히는 목적은 점을 더 많이 모으는 데 그치지 않고, 같은 반사율 뒤에 숨은 다른 구조를 구별하는 데 있다.