중도절단 자료가 평균 233시간을 1400시간으로 바꾸는 이유

열 개의 칩을 500시간 시험했는데 세 개만 고장 났다. 나머지 일곱 개는 고장 시간이 없으니 분석에서 빼도 될까? 그 칩들은 아무 정보도 주지 않은 것이 아니다. 각각 500시간까지 살아남았다는 정보를 준다. 중도절단 자료는 관측을 끝냈기 때문에 실제 고장 시간의 일부만 아는 수명 자료다. 살아남은 시간을 고장 시간과 다르게 기록해야 한다.

시험 종료 시각은 소자의 고장 시각이 아니다

고장 시각을 정확히 읽은 소자는 T = t라는 관측을 준다. 500시간에 정상인 채 시험을 끝낸 소자는 T > 500시간이라는 관측을 준다. 후자는 오른쪽 중도절단이다. 종료 시각이 미리 정해진 시험과, 정해진 개수의 고장이 생길 때 끝내는 시험도 구분한다. NIST는 이 차이를 Type I과 Type II로 설명한다. NIST 중도절단의 정의

분포의 밀도가 f(t), 생존확률이 S(t)일 때 정확한 고장은 우도에 f(t)를 기여한다. 정상 종료 관측은 S(t)를 기여한다. 살아남았다는 사실을 삭제하면 이 생존 항도 사라진다. 반대로 종료 시각을 고장 시각으로 넣으면 존재하지 않은 고장 사건을 더하게 된다. NIST 중도절단 자료의 우도식

고장 난 세 개만 평균내면 무엇이 빠지는가

가상 시험의 실제 고장 시간을 100, 200, 400시간으로 두자. 다른 일곱 개는 500시간에서 정상 종료한다. 일정한 위험률 λ를 가진 지수분포와 독립 관측을 가정하면, 모든 관측이 기여하는 총 소자 시간은 다음과 같다.

U = 100 + 200 + 400 + 7×500 = 4200 소자·시간

고장 건수 r은 3이다. 우도는 λ³exp(−λU)에 비례하고, 이를 최대화한 추정은 λ̂ = r/U다. 따라서 약 7.14×10⁻⁴/시간, 평균 고장 시간의 추정은 U/r = 1400시간이다. 가상 자료와 지정한 분포에 대한 결과이며 실제 칩의 수명 보증이 아니다.

고장 난 세 개만 평균내면 700/3, 약 233시간이 나온다. 관측 중 빨리 고장 난 집단만 남긴 값이다. 모집단 전체의 평균을 같은 방식으로 추정한 것이 아니다. 일곱 개의 500시간 생존 정보를 넣자 결과가 달라지는 이유다.

반대로 열 개 모두가 각 기록 시각에 고장 났다고 처리하면 4200/10 = 420시간이 나온다. 이번에는 생존 소자 일곱 개를 실패로 바꾼 오류다. 관측 종료를 고장으로 둔갑시키는 방식도 정보 삭제만큼 문제를 만든다.

중도절단의 이유가 분석 가정에 들어간다

위 계산은 정해진 500시간에 시험을 끝내는 경우다. 상태가 나쁜 칩만 먼저 빼고 정상 종료로 표시했다면 같은 우도를 그대로 쓰기 어렵다. 관측을 끝내는 선택이 숨은 수명과 관련될 수 있기 때문이다. 사전에 정한 일정에 따른 종료인지, 이상 징후 때문에 중단했는지 기록해야 한다.

점검 간격 사이에서 고장 났지만 정확한 시각을 모르면 구간 중도절단이다. 예를 들어 400시간에는 정상, 500시간에는 실패였으면 우도에 F(500)−F(400)을 넣는다. 임의로 450시간의 정확한 고장이라고 만드는 것과 다르다. 관측이 제공한 정보만 사용한다.

고장이 세 건뿐인 추정에는 상당한 불확실성도 남는다. 지수분포를 썼다는 가정이 자료로 충분히 확인됐는지, 시간에 따른 위험 변화가 있는지 별도로 검토해야 한다. 이 예의 1400시간은 중도절단을 반영한 하나의 점추정이다.

중도절단 자료를 다루는 첫 단계는 소자마다 종료 시각과 종료 이유, 정확한 고장 여부를 분리해 저장하는 것이다. 정상 종료는 고장이 아니라 생존 관측이다. 이 차이를 보존해야 아직 고장 나지 않은 칩이 알려 주는 시간을 수명 판단에 사용할 수 있다.