편석계수는 잉곳의 처음과 끝을 왜 다르게 만들까
한 용탕에 도펀트를 일정량 넣고 잉곳을 성장시켰다. 처음 잘라 낸 웨이퍼와 끝부분 웨이퍼의 농도가 같을 것 같지만, 실제로는 성장 중 남은 액체의 조성이 변할 수 있다. 편석계수는 불순물이 고체와 액체에 같은 농도로 들어가지 않는다는 사실을 수치로 나타낸다.
새 고체가 가져가지 않은 불순물은 남는다
고체·액체 계면의 평형 농도를 각각 C_s와 C_l라고 하면 편석계수는 k=C_s/C_l다. k가 1보다 작으면 새로 생긴 고체에는 인접 액체보다 낮은 농도로 불순물이 들어간다. 나머지 불순물은 액체 쪽에 남아 남은 용탕을 점점 진하게 만든다. 같은 원료에서 시작했어도 뒤에 자란 부분의 농도가 높아질 수 있는 이유다. Dean Neikirk, Bulk crystal growth, PDF 9쪽
이 농도 비율은 고체와 액체 사이의 분배 조건이다. k=0.3이라는 말이 전체 불순물의 30%만 최종 결정에 들어가고 70%는 반드시 버려진다는 뜻은 아니다. 남은 액체의 농도가 변하므로 다음 순간의 고체도 다른 농도로 성장한다. 어느 시점까지 성장했는지를 함께 알아야 총량을 계산할 수 있다.
남은 용탕의 수지로 농도 변화를 구한다
전체 초기 양을 1로 두고, 응고한 비율을 f라고 하자. 액체가 완전히 혼합되어 한 농도 C_l을 갖고, 고체 내부의 재확산이 없고, 계면의 k가 일정하다고 가정한다. 농도는 초기 양과 같은 기준으로 환산해 고체·액체의 밀도 차이를 생략한다.
남은 액체의 불순물 양은 (1−f)C_l이다. 아주 작은 df가 고체가 되면 kC_l df만큼 가져가므로 수지는 다음과 같다.
d[(1−f)C_l] = −kC_l df
정리하면 dC_l/C_l=(1−k)df/(1−f)이고, 초기 액체 농도 C₀에서 적분하면 다음 관계를 얻는다.
C_l = C₀(1−f)^(k−1)
C_s = kC₀(1−f)^(k−1)
흔히 쓰는 이 응고 분포식은 “불순물이 뒤로 밀린다”는 설명을 실제 양의 보존과 연결한다. C_s는 해당 순간에 새로 생기는 고체의 농도이지, 그때까지 성장한 잉곳 전체의 평균 농도가 아니다.
마지막 10%가 절반을 담는 가상 예
C₀=10¹⁶cm⁻³, k=0.3인 가상 조건을 보자. 성장 시작의 C_s는 3.0×10¹⁵cm⁻³다. 절반이 응고했을 때는 약 4.87×10¹⁵cm⁻³, 90%가 응고했을 때는 약 1.50×10¹⁶cm⁻³다. 뒤쪽 순간 농도가 초기보다 약 다섯 배 높아졌다. 같은 k를 썼는데도 이런 변화가 생긴다.
f=0.9에서 남은 액체의 불순물 양을 초기 불순물 양으로 나누면 (1−f)^k=0.1^0.3, 약 0.501이다. 부피 기준으로 마지막 10%인 액체에 초기 불순물의 약 절반이 남은 셈이다. 먼저 성장한 90%의 평균 고체 농도는 약 5.54×10¹⁵cm⁻³로, 마지막 순간의 1.50×10¹⁶cm⁻³와 크게 다르다.
이 값들은 특정 도펀트의 실제 잉곳 데이터가 아니다. k<1의 분배와 용탕 감소만으로 축 방향 변화가 생길 수 있음을 보여 주는 계산이다. 전기저항까지 예측하려면 불순물의 활성화, 보상과 이동도 조건도 더 필요하다.
계면 농도와 용탕 평균은 같지 않을 수 있다
실제 용탕이 완전히 혼합되지 않으면 계면에서 밀려난 불순물이 그 근처에 쌓일 수 있다. 이때 평형 편석계수에 넣어야 하는 액체 농도는 계면의 농도다. 멀리 떨어진 용탕 평균을 대신 넣으면 같은 재료의 k가 성장 속도에 따라 바뀌는 것처럼 보일 수 있다.
Burton·Prim·Slichter의 원 연구는 액체의 확산과 흐름이 정상상태 결정 성장 중 불순물 포함에 미치는 영향을 모델에 넣었다. 따라서 계면의 평형 분배와, 장치에서 관찰하는 유효 분배를 구분해야 한다. Burton 외, The Distribution of Solute in Crystals Grown from the Melt. Part I. Theoretical, 초록
단순 식은 f가 1에 가까워지면 k<1에서 농도가 끝없이 증가한다. 실제로 그 끝까지 희석 용액, 일정 k와 이상적인 계면 조건을 유지할 수 없으므로 마지막 꼬리의 예측을 그대로 믿으면 안 된다. k>1이면 초기 고체가 불순물을 더 많이 가져가 반대 추세도 가능하다.
편석계수는 농도를 한 번 정해 주는 상수가 아니라, 성장하면서 바뀌는 액체와 새 고체를 연결하는 비율이다. 잉곳의 처음과 끝을 비교하려면 그 비율에 남은 용탕의 양과 계면 혼합을 더해야 한다. 순간 농도와 평균 농도를 나누는 것만으로도 웨이퍼 위치에 따라 성질이 달라지는 이유가 훨씬 정확해진다.